Basis vom Kern einer Linearen Abbildung bestimmen

Question

Aufgabe:

$$a_{1}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0} \\ {0}\end{array}\right), a_{2}=\left(\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right), a_{3}=\left(\begin{array}{l}{0} \\ {0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right), a_{4}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {0} \\ {2}\end{array}\right) \text { und } b_{1}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1}\end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{l}{3} \\ {2}\end{array}\right)$$

$$\begin{array}{l}{\text { Sei } f : \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \text { eine lineare Abbildung definiert durch }} \\ {\qquad f\left(a_{1}\right)=\left(\begin{array}{c}{-2} \\ {-1}\end{array}\right), f\left(a_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-1}\end{array}\right), f\left(a_{3}\right)=\left(\begin{array}{c}{0} \\ {-2}\end{array}\right), f\left(a_{4}\right)=\left(\begin{array}{c}{\frac{1}{2}} \\ {1}\end{array}\right)}\end{array}$$

1.

Berechnen sie$$\mathcal{M}(\mathcal{B}, f, \mathcal{A})$$

Und meine Frage zu der dann folgenden Aufgabe:

2.

Bestimmen Sie eine Basis von Kern(f) bezüglich der Basis A und stellen Sie diese Basis von Kern(f) in der Standardbasis E4 dar.

Frage:

Wenn ich den Kern(f) bestimmen soll, welche Matrix nehme ich dann um den Kern zu berechnen? Und was bedeutet in diesem Fall bezüglich der Basis A? Könnte ich die Matrix M(E2,f,B) nehmen? In der Musterlösung wird M(B,f,A) genommen. Woher weiß ich nun welche die richtige ist um auf den Kern von f zu kommen?

Oder ist folgende Feststellung richtig: Der Kern einer Abbildung ändert sich nicht, egal was ich vorne reinschicke. Dann müsste ich ja sozusagen alles was die LA ausspuckt zum berechnen des Kerns nehmen können.

Und die Vektoren des Kerns die ich rausbekomme, woher weiß ich in zu welcher Basis diese gegeben sind

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Und was bedeutet in diesem Fall bezüglich der Basis A?

Nach meinem Verständnis bedeutet das, dass du die Elemente des Kerns als Linearkombinationen der Basis A beschreiben sollst und also angeben sollst welche Linearkombinationen der Basis A eine Basis des Kerns bilden.

Könnte ich die Matrix M(E2,f,B) nehmen?

Wohl nicht, da f von R⁴ nach R² geht, also allenfalls M(E4,f,A) oder M(B,f,E2) oder M(E4,f,E2)

oder M(B,f,A)  sinnvoll wäre .  In der Musterlösung wird M(B,f,A) genommen.

Das geschieht hier wohl, weil man diese Matrix ja schon aus Teil 1 hat.

Woher weiß ich nun welche die richtige ist um auf den Kern von f zu kommen? Die anderen Matrizen

müsste man ja mal erst bestimmen.

Oder ist folgende Feststellung richtig: Der Kern einer Abbildung ändert sich nicht ( So ist es !)

, egal was ich vorne reinschicke.    Aber wie du die Vektoren dieses Kerns darstellst, hängt natürlich von der benutzten Basis ab.

Und die Vektoren des Kerns die ich rausbekomme, woher weiß ich in zu welcher Basis diese gegeben sind.    Die gehören zu der Basis, die zu der Matrix gehört, mit der du gerechnet hast.

Comments

Vielen Dank schonmal, soweit macht das Sinn.


Eine Frage noch. Wenn ich die Basis des Kern bestimmt habe hab ich nun 2 Vektoren die in der Basis A gegeben sind. Um die Vektoren die in der Basis A sind in der Basis E4 zu schreiben muss ich die Vektoren jetzt mit meiner Matrix M(B,id,E4) multiplizieren richtig? Diese Matrix habe ich ja auch in der Aufgabenstellung direkt gegeben.


Vielen Dank !

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Du kannst das prüfen, indem du auf diese Basisvektoren wieder die

Abbildung anwendest. Dann muss jeweils 0 rauskommen.