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Aufgabe:

Heißer Tee mit Temperatur y(t) (t = Zeit), die Außentemperatur yaußen sei konstant.

Physik: Der Verlauf von y(t) ist bestimmt durch:

a) Anfangstemperatur y0: y(0) = y0

b) Abfließen der Wärme: y'(t) = - α (y(t) - yaußen)

y'(t) = Änderung der Temperatur

- α (y(t) - yaußen) = abfließende Wärme (α > 0)


Problem/Ansatz:

Ich habe leider Probleme bei der Berechnung dieser Differentialgleichung. Es würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Vielen Dank im Voraus und noch einen schönen Sonntag. :)

von

Hallo,

Am Einfachsten ist Trennung der Variablen.

Du brauchst Potenzreihen schon gar nicht , auch Variation der Konstanten ist hier nicht nötig , aber es ist Deine Wahl.

:-)

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Aloha :)

Die DGL ist ja bereits vorgegeben:

$$y'=-\alpha\left(y-y_a\right)\;\;\Leftrightarrow\;\;y'+\alpha y=\alpha y_a$$Als erstes lösen wir die homogene DGL mittels Integration:

$$y_h'+\alpha y_h=0\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{y_h'}{y_h}=-\alpha\;\;\Leftrightarrow\;\;\ln(y_h)=-\alpha t+c_1\;\;\Leftrightarrow\;\;y_h=e^{-\alpha t}\cdot \underbrace{e^{c_1}}_{=:c}=c\,e^{-\alpha t}$$Zur Lösung der gegebene DGL tun wir so, als wäre die Konstante \(c=c(t)\) von \(t\) abhängig ("Variation der Konstanten"), leiten die homogene Lösung entsprechend ab

$$y(t)=c(t)\,e^{-\alpha t}\;\;;\;\;y'(t)=c'(t)e^{-\alpha t}-\alpha\,c(t)e^{-\alpha t}=c'e^{-\alpha t}-\alpha y$$und setzen sie in die DGL ein:

$$c'e^{-\alpha t}-\alpha y=-\alpha(y-y_a)\;\Leftrightarrow\;c'e^{-\alpha t}=\alpha y_a\;\Leftrightarrow\;c'=\alpha y_ae^{\alpha t}\;\Leftrightarrow\;c(t)=y_ae^{\alpha t}+c_2$$Damit haben wir bis auf die Integrationskonstante \(c_2\) als Lösung der DGL:

$$y(t)=\left(y_ae^{\alpha t}+c_2\right)e^{-\alpha t}=y_a+c_2e^{-\alpha t}$$Die Integrationskonstante \(c_2\) erhalten wir noch aus der Anfangsbedingung \(y(0)=y_0\):

$$y_0\stackrel{!}{=}y(0)=y_a+c_2\;\;\Leftrightarrow\;\;c_2=y_0-y_a$$Damit haben wir es geschafft:

$$y(t)=y_a+(y_0-y_a)e^{-\alpha t}$$

von 7,1 k
+1 Daumen

Die Lösung lautet $$ y(t) = y_0 e^{- \alpha t} + ( 1 - e^{ - \alpha t } ) y_{außen}  $$ wie man durch nachrechnen sehen kann.

Man sieht daran, dass die Anfangstemperatur mit der Zeit abklingt und sich die Außentemperatur einstellt.

Substituiere \( z(t) = y(t) - y_{außen} \) dann folgt \( z'(t) = -\alpha z(t) \) mit der Lösung \( z(t) = z_0 e^{-\alpha t} \) wobei \( z_0 = y_0 - y_{außen} \) gilt. Jetzt die Substitution für \( z(t) \) rückgängig machen. Dann erhält man die Lösung, ohen Potenzreihen, Variation der Konstanten. Ganz einfach!

von 25 k
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Hallo,

Lösung durch Trennung der Variablen:

A.png

von 89 k
+1 Daumen

Ich löse das ganze mit Potenzreihen und benutze statt α das Symbol λ.

Bildschirmfoto von 2019-08-18 17-46-03.png Bildschirmfoto von 2019-08-18 17-49-07.png

von 7,1 k

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