zeige, dass V/V≅V falsch ist

Question

Ist die folgende Aussage wahr oder falsch?

Seien A,B ∈ Mn(ℂ) und V ein K Vektorraum.

Gilt V/V≅V?

Ich hab schon herausgefunden, dass die Aussage falsch ist. Doch wie kann ich das zeigen bzw. was ist ein Gegenbeispiel dazu?

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Was ist, wenn V der Nullraum ist ?

Answer 1

Für $\varphi \in \text{End}(V)$ ist $V/\text{Kern}(\varphi) \cong \text{Bild}(\varphi)$. Nimm nun die Abbildung, die alles auf den Nullvektor schickt und schaue, was passiert.

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Ich hab jetzt auch noch eine Idee.

Seien v,w ∈ V. Nehmen wir die Äquivalenzrelation v ~ w ⇔ v-w ∈ V. Dann sind alle Vektoren äquivalent also folgt V/V≅{0}≅V

Oder?

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Die Isomorphie $V/V \cong \{ 0 \}$ stimmt, die zweite im Allgemeinen nicht (sondern nur wenn $V = \{ 0 \}$).

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Ok, das heißt wenn ich das richtig verstanden habe, stimmt das so wie ich das bewiesen habe stimmt das nur für V/{0}≅V oder?

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Das was du geschrieben hast gilt nur für $V = \{ 0 \}$ und das ist genau der Fall, in dem das Gegenbeispiel nicht funktioniert. Nimm irgendeinen beliebigen VR $V \neq \{ 0 \}$ und es folgt, dass $V/V \cong V$ falsch ist.

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Ok danke dann bedeutet das, dass die Aussage

V/{0}≅V  ist wahr, wenn gilt dass V beliebig gewählt werden kann und die AussageV/{0}≅V ist falsch wenn gilt V≠{0}

Oder?

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Kann mir hier vielleicht nochmal jemand weiterhelfen??

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Schau dir den Homomorphiesatz nochmal an.