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Aufgabe:

a)

Geben Sie das Taylor-Polynom dritten Grades für die Funktion \( x \mapsto ln(1+sinx)\) um den Entwicklungspunkt \( x_0 = 0 \) an.

b)

Geben SIe die Taylor-Reihe für die Funktion \( x \mapsto \int\limits_{0}^{x} e^{-t^2} \) um den Entwicklungspunkt \( x_0 = 0 \) an.

c)

Berechnen Sie \( ln(1,1) \) näherungsweise durch das quadratische Taylorpolynom von \( lnx \) an der Stelle \( x_0 = 1 \) und schätzen Sie den Fehler mit Hilfe des Restglieds ab.



Problem/Ansatz:

a)

Auf die einzelnen Ableitungen verzichte ich an der Stelle und gebe direkt mein Ergebnis an:

\( T =  \frac{f^0(0)(x-0)^0}{1} + \frac{f^1(0)(x-0)^1}{1} + \frac{f^3(0)(x-0)^2}{2} + \frac{f^3(0)(x-0)^3}{6} = 0 + x - \frac{1}{2}x + \frac{1}{6}x = \frac{4}{6}x = \frac{2}{3}x\)


bei b) und c) weiß ich nicht genau, wie ich vorgehen soll bzw. es fehlen mit die Ansätze...

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Deine Lösung zu a) ist vom Ansatz her richtig, nur hast du falsch zu Ende gerechnet. Es muss lauten:

$$ T_3f(x;0)=...=x-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3 $$

Zu b) kennst du doch bestimmt die Reihe für e^x. Du musst nur mit x=-t^2 substituieren.

Zu c) Erstmal das Taylor-Polynom nach der Formel aufstellen. Und dann schätzt du mit einem Restglied (wahrscheinlich La Grange) den maximalen Fehler ab. Ansatz wäre also

$$ g(x)=\ln(x)\\ T_2g(x;1)=\Bigg(\sum_{k=0}^2 \frac{g^{(k)}(1)}{k!}\cdot (x-1)^k \Bigg)+R_2(x) $$

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Bei a) muss ich wohl nochmal nachrechnen, habe bei \( f^3(x) = 1\) raus.

Zu b) meinst du die Reihe \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} ?\)

Zu c) muss ich da dann einfach die Taylorreihe um ein Polynom erweitern?

Zu a). Du meinst wohl f^3(0)=1. :-)

Zu b). Ja

Zu c). Was meinst du mit Polynom erweitern?

Also um das Restglied (mit ξ anstatt \( x_0 \)) erweitern, welches dann eine weitere Ableitung der Funktion ist, also in dem Fall die dritte.

Ja genau. Und das machst du auf dem Intervall [1; 1,1], weil x_0=1 dein Entwicklungspunkt ist und für x=1,1 der Wert angenähert werden soll.

Wäre das dann mein Restglied:

\( R_2 = \frac{f^3(x_0) \cdot (x - x_0)^3}{6} = \frac{\frac{2}{x^3} \cdot (x - 1)^3}{6} = \frac{2 \cdot (x - 1)^3}{6x^3} \) ?


Wie gehe ich weiter vor?

Also wenn du das nach La Grange machst, betrachtet man immer den Betrag. Also

$$ |R_2(x)|=\Bigg|\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\cdot (x-1)^3\Bigg| $$ Dabei ist x∈[1; 1,1] und das ξ zwischen x und dem Entwicklungspunkt x_0=1.

Bei der b) stehe ich aber noch auf dem Schlauch.

Wenn ich die Reihe nun habe und \( x=-t^2 \) substituiere, habe ich \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-t^2)^n}{n!}\)? Aber was kann ich damit anfangen?

Dann hast du diese Identität geschaffen:

$$ e^{-t^2}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\cdot (-t^2)^{^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\cdot t^{2n} $$

Man also einen Ausdruck geschaffen (Potenzreiehe), die du nun integrieren kannst, indem ja jeder Summand der Potenzreihe integriert wird.

Ist das dann auch schon das Ergebnis? Sieht sehr verdächtig nach einer Taylorreihe aus.


Ich versuch nämlich immer irgendwas abzuleiten um eben die Werte für die Formel zu haben etc...

Ja, das kannst du natürlich auch machen, ist aber umständlicher, da du dann die n-te Ableitung erkennen musst, bzw. sie beweisen musst. Und das wird bei deiner Funktion nicht schön.

Perfekt, danke!

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