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Aufgabe:

Gib die Darstellung folgender Folge an

a) Folge der Quadratzahlen


Problem/Ansatz:

Ich verstehe jetzt nich wie ich dort bei der expliziten und rekursiven Darstellung vorgehen muss

von

Eine rekursive Darstellung findest du so:
an - an-1 = n2 - (n - 1)2 = 2n - 1.
Also ist an = an-1 + 2n - 1.

Könnt ihr mir BITTE! erklĂ€ren wie man bei der rekursiven vorgehn

Spacko hat es doch schon vorgemacht, wo drĂŒckt der Schuh denn noch?

2 Antworten

+1 Daumen

Hallo Eren,

Könnt ihr mir BITTE erklÀren wie man bei der rekursiven vorgeht

'rekursiv' bedeutet, dass in einer Folge auf Grund der vorhergehenden Zahlen auf das nĂ€chste Element geschlossen werden kann. Ein einfaches Beispiel ist die Folge der natĂŒrlichen Zahlen: $$1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5, \dots$$Ist irgendeine natĂŒrlich Zahl \(d_n\) gegeeben, so kann man daraus direkt auf die nĂ€chste schließen$$d_{n+1} = d_n +1$$das ist trivial. Oder die ungeraden Zahlen$$1,\, 3,\, 5,\, 7,\, 9,\, \dots$$Hier addiert man \(2\) und kommt zur nĂ€chsten ungeraden Zahl$$u_{n+1} = u_n + 2$$Bei den Quadratzahlen könnte man es genauso machen. Die \(n\)'te Quadratzahl sei \(q_n\); dann ist die nĂ€chste:$$q_{n+1} = \left( \sqrt{q_n} + 1\right)^2$$Beispiel: ist \(q_n=289\) so ist die nĂ€chste Quadratzahl \(q_{n+1}\)$$q_{n+1} = \left( \sqrt{289} + 1\right)^2 = \left( 17 + 1\right)^2 = 324$$Jetzt ist das aber das mit der Wurzel ein wenig umstĂ€ndlich. Es gibt auch eine andere Möglichkeit. Und zwar kann man die nĂ€chste Zahl der Folge auch ohne Wurzel und Quadrat aus seinen beiden VorgĂ€ngern \(q_n\) und \(q_{n-1}\) berechnen.

GrundsĂ€tzlich solte man sich bei jeder Folge die Differenzen und die Quotienten der Nachbarglieder anschauen. Die Folge der Quadratzahlen ist$$1, \, 4,\, 9,\, 16,\, 25,\, 36,\, \dots$$ und die Folge der Differenzen ist \(4-1=3\), \(9-4=5\) usw.: $$3,\, 5,\, 7,\, 9,\, 11,\, \dots$$und das ist die Folge der ungeraden Zahlen und die unterscheiden sich jeweils um \(2\). D.h. die nĂ€chste Quadratzahl \(q_{n+1}\) berechnet sich aus dem VorgĂ€nger \(q_n\) erhöht um die Differenz der beiden VorgĂ€nger \(q_n-q_{n-1}\) plus \(2\), da die nĂ€chste Differenz um \(2\) grĂ¶ĂŸer sein muss.$$q_{n+1} = q_n + (q_n - q_{n-1}) +2 = 2q_n -q_{n-1} +2$$

Formal kĂ€me man da auch mit folgendem Ansatz hin. Man nimmt an, dass $$q_{n+1} = a \cdot q_n + b \cdot q_{n-1} + c$$Aber wie groß sind nun \(a\), \(b\) und \(c\)? Dazu bemĂŒhen wir die explizite Darstellung - wir wissen ja dass$$q_n = n^2$$Das setze ich oben in die (Probier)Gleichung ein:$$(n+1)^2 = a \cdot n^2 + b \cdot (n-1)^2 + c$$Die Faktoren \(a\), \(b\) und \(c\) mĂŒssen nun so bestimmt werden, dass die Gleichung fĂŒr jedes(!) \(n\) aufgeht. Dazu multipliziere ich aus und sortiere nach den Potenzen von \(n\)$$\begin{align}n^2 + 2n +1 &= an^2 + b(n^2 - 2n + 1) +c \\ n^2 + 2n +1  &= an^2 + bn^2 - 2bn + b +c \\ 0&= n^2 \cdot \underbrace{(a+b-1)}_{=0} + n\cdot \underbrace{(-2b - 2)}_{=0} + \underbrace{(b+c-1)}_{=0}\end{align}$$Damit die Gleichung fĂŒr jedes \(n\) stimmt, mĂŒssen die Faktoren vor \(n^2\), \(n\) und \(n^0\) alle identisch 0 sein.

Aus dem mittleren Term \(-2b-2 = 0\) folgt \(b=-1\) und damit ist \(a=2\) und \(c=2\). Also $$q_{n+1} = 2q_n - q_{n-1} + 2$$Probieren wir das mit \(q_{n-1} = 289\) und \(q_n=324\) dann kommt raus:$$q_{n+1} = 2 \cdot 324 - 289 + 2 = 361 = 19^2$$Gruß Werner

von 19 k
0 Daumen

Explizit: \(a_n:=n^2\)

Rekursiv: \(a_1=1\), \(a_n=a_{n-1}+2(n-1)+1\).

von 15 k

Das mit der expliziten verstehe ich aber wie geht man bei der rekursiven vor

Das verwirrt mich voll

@rc

Das ist nicht rekursiv, weil man nicht nur auf das VorgĂ€ngerglied zurĂŒckgreift. sondern auch auf den Index. Erst wenn du auch (n-1) mit Hilfe von \(a_{n-1}\) ausdrĂŒckst, wird es richtig rekursiv.

@ab: Ich kenne den Rekursionsbegriff auch ohne diese EinschrĂ€nkung, aber auch mit dieser EinschrĂ€nkung ist es leicht möglich, etwa mit $$a_1 = 1, \quad a_n = \left( \sqrt{a_{n-1}}+1\right)^2\quad \text{fĂŒr}\quad n>1.$$

Genau darum ging es mir.

Ich wollte zwar einfach nur, dass statt

an−1+2(n−1)+1

"rein rekursiv" an−1+2√(an−1)+1

geschrieben wird, aber nach binomischer Formel entspricht das auch deinem Term.

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