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Aufgabe:

Gib die Darstellung folgender Folge an

a) Folge der Quadratzahlen


Problem/Ansatz:

Ich verstehe jetzt nich wie ich dort bei der expliziten und rekursiven Darstellung vorgehen muss

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Eine rekursive Darstellung findest du so:
an - an-1 = n2 - (n - 1)2 = 2n - 1.
Also ist an = an-1 + 2n - 1.

Könnt ihr mir BITTE! erklären wie man bei der rekursiven vorgehn

Spacko hat es doch schon vorgemacht, wo drückt der Schuh denn noch?

2 Antworten

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Hallo Eren,

Könnt ihr mir BITTE erklären wie man bei der rekursiven vorgeht

'rekursiv' bedeutet, dass in einer Folge auf Grund der vorhergehenden Zahlen auf das nächste Element geschlossen werden kann. Ein einfaches Beispiel ist die Folge der natürlichen Zahlen: $$1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5, \dots$$Ist irgendeine natürlich Zahl \(d_n\) gegeeben, so kann man daraus direkt auf die nächste schließen$$d_{n+1} = d_n +1$$das ist trivial. Oder die ungeraden Zahlen$$1,\, 3,\, 5,\, 7,\, 9,\, \dots$$Hier addiert man \(2\) und kommt zur nächsten ungeraden Zahl$$u_{n+1} = u_n + 2$$Bei den Quadratzahlen könnte man es genauso machen. Die \(n\)'te Quadratzahl sei \(q_n\); dann ist die nächste:$$q_{n+1} = \left( \sqrt{q_n} + 1\right)^2$$Beispiel: ist \(q_n=289\) so ist die nächste Quadratzahl \(q_{n+1}\)$$q_{n+1} = \left( \sqrt{289} + 1\right)^2 = \left( 17 + 1\right)^2 = 324$$Jetzt ist das aber das mit der Wurzel ein wenig umständlich. Es gibt auch eine andere Möglichkeit. Und zwar kann man die nächste Zahl der Folge auch ohne Wurzel und Quadrat aus seinen beiden Vorgängern \(q_n\) und \(q_{n-1}\) berechnen.

Grundsätzlich solte man sich bei jeder Folge die Differenzen und die Quotienten der Nachbarglieder anschauen. Die Folge der Quadratzahlen ist$$1, \, 4,\, 9,\, 16,\, 25,\, 36,\, \dots$$ und die Folge der Differenzen ist \(4-1=3\), \(9-4=5\) usw.: $$3,\, 5,\, 7,\, 9,\, 11,\, \dots$$und das ist die Folge der ungeraden Zahlen und die unterscheiden sich jeweils um \(2\). D.h. die nächste Quadratzahl \(q_{n+1}\) berechnet sich aus dem Vorgänger \(q_n\) erhöht um die Differenz der beiden Vorgänger \(q_n-q_{n-1}\) plus \(2\), da die nächste Differenz um \(2\) größer sein muss.$$q_{n+1} = q_n + (q_n - q_{n-1}) +2 = 2q_n -q_{n-1} +2$$

Formal käme man da auch mit folgendem Ansatz hin. Man nimmt an, dass $$q_{n+1} = a \cdot q_n + b \cdot q_{n-1} + c$$Aber wie groß sind nun \(a\), \(b\) und \(c\)? Dazu bemühen wir die explizite Darstellung - wir wissen ja dass$$q_n = n^2$$Das setze ich oben in die (Probier)Gleichung ein:$$(n+1)^2 = a \cdot n^2 + b \cdot (n-1)^2 + c$$Die Faktoren \(a\), \(b\) und \(c\) müssen nun so bestimmt werden, dass die Gleichung für jedes(!) \(n\) aufgeht. Dazu multipliziere ich aus und sortiere nach den Potenzen von \(n\)$$\begin{aligned}n^2 + 2n +1 &= an^2 + b(n^2 - 2n + 1) +c \\ n^2 + 2n +1  &= an^2 + bn^2 - 2bn + b +c \\ 0&= n^2 \cdot \underbrace{(a+b-1)}_{=0} + n\cdot \underbrace{(-2b - 2)}_{=0} + \underbrace{(b+c-1)}_{=0}\end{aligned}$$Damit die Gleichung für jedes \(n\) stimmt, müssen die Faktoren vor \(n^2\), \(n\) und \(n^0\) alle identisch 0 sein.

Aus dem mittleren Term \(-2b-2 = 0\) folgt \(b=-1\) und damit ist \(a=2\) und \(c=2\). Also $$q_{n+1} = 2q_n - q_{n-1} + 2$$Probieren wir das mit \(q_{n-1} = 289\) und \(q_n=324\) dann kommt raus:$$q_{n+1} = 2 \cdot 324 - 289 + 2 = 361 = 19^2$$Gruß Werner

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Explizit: \(a_n:=n^2\)

Rekursiv: \(a_1=1\), \(a_n=a_{n-1}+2(n-1)+1\).

Avatar von 28 k

Das mit der expliziten verstehe ich aber wie geht man bei der rekursiven vor

Das verwirrt mich voll

@rc

Das ist nicht rekursiv, weil man nicht nur auf das Vorgängerglied zurückgreift. sondern auch auf den Index. Erst wenn du auch (n-1) mit Hilfe von \(a_{n-1}\) ausdrückst, wird es richtig rekursiv.

@ab: Ich kenne den Rekursionsbegriff auch ohne diese Einschränkung, aber auch mit dieser Einschränkung ist es leicht möglich, etwa mit $$a_1 = 1, \quad a_n = \left( \sqrt{a_{n-1}}+1\right)^2\quad \text{für}\quad n>1.$$

Genau darum ging es mir.

Ich wollte zwar einfach nur, dass statt

an−1+2(n−1)+1

"rein rekursiv" an−1+2√(an−1)+1

geschrieben wird, aber nach binomischer Formel entspricht das auch deinem Term.

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