Hallo Eren,
Könnt ihr mir BITTE erklären wie man bei der rekursiven vorgeht
'rekursiv' bedeutet, dass in einer Folge auf Grund der vorhergehenden Zahlen auf das nächste Element geschlossen werden kann. Ein einfaches Beispiel ist die Folge der natürlichen Zahlen: 1,2,3,4,5,…Ist irgendeine natürlich Zahl dn gegeeben, so kann man daraus direkt auf die nächste schließendn+1=dn+1das ist trivial. Oder die ungeraden Zahlen1,3,5,7,9,…Hier addiert man 2 und kommt zur nächsten ungeraden Zahlun+1=un+2Bei den Quadratzahlen könnte man es genauso machen. Die n'te Quadratzahl sei qn; dann ist die nächste:qn+1=(qn+1)2Beispiel: ist qn=289 so ist die nächste Quadratzahl qn+1qn+1=(289+1)2=(17+1)2=324Jetzt ist das aber das mit der Wurzel ein wenig umständlich. Es gibt auch eine andere Möglichkeit. Und zwar kann man die nächste Zahl der Folge auch ohne Wurzel und Quadrat aus seinen beiden Vorgängern qn und qn−1 berechnen.
Grundsätzlich solte man sich bei jeder Folge die Differenzen und die Quotienten der Nachbarglieder anschauen. Die Folge der Quadratzahlen ist1,4,9,16,25,36,… und die Folge der Differenzen ist 4−1=3, 9−4=5 usw.: 3,5,7,9,11,…und das ist die Folge der ungeraden Zahlen und die unterscheiden sich jeweils um 2. D.h. die nächste Quadratzahl qn+1 berechnet sich aus dem Vorgänger qn erhöht um die Differenz der beiden Vorgänger qn−qn−1 plus 2, da die nächste Differenz um 2 größer sein muss.qn+1=qn+(qn−qn−1)+2=2qn−qn−1+2
Formal käme man da auch mit folgendem Ansatz hin. Man nimmt an, dass qn+1=a⋅qn+b⋅qn−1+cAber wie groß sind nun a, b und c? Dazu bemühen wir die explizite Darstellung - wir wissen ja dassqn=n2Das setze ich oben in die (Probier)Gleichung ein:(n+1)2=a⋅n2+b⋅(n−1)2+cDie Faktoren a, b und c müssen nun so bestimmt werden, dass die Gleichung für jedes(!) n aufgeht. Dazu multipliziere ich aus und sortiere nach den Potenzen von nn2+2n+1n2+2n+10=an2+b(n2−2n+1)+c=an2+bn2−2bn+b+c=n2⋅=0(a+b−1)+n⋅=0(−2b−2)+=0(b+c−1)Damit die Gleichung für jedes n stimmt, müssen die Faktoren vor n2, n und n0 alle identisch 0 sein.
Aus dem mittleren Term −2b−2=0 folgt b=−1 und damit ist a=2 und c=2. Also qn+1=2qn−qn−1+2Probieren wir das mit qn−1=289 und qn=324 dann kommt raus:qn+1=2⋅324−289+2=361=192Gruß Werner