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Aufgabe:

Gib die Darstellung folgender Folge an

a) Folge der Quadratzahlen


Problem/Ansatz:

Ich verstehe jetzt nich wie ich dort bei der expliziten und rekursiven Darstellung vorgehen muss

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Eine rekursive Darstellung findest du so:
an - an-1 = n2 - (n - 1)2 = 2n - 1.
Also ist an = an-1 + 2n - 1.

Könnt ihr mir BITTE! erklären wie man bei der rekursiven vorgehn

Spacko hat es doch schon vorgemacht, wo drückt der Schuh denn noch?

2 Antworten

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Hallo Eren,

Könnt ihr mir BITTE erklären wie man bei der rekursiven vorgeht

'rekursiv' bedeutet, dass in einer Folge auf Grund der vorhergehenden Zahlen auf das nächste Element geschlossen werden kann. Ein einfaches Beispiel ist die Folge der natürlichen Zahlen: 1,2,3,4,5,1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5, \dotsIst irgendeine natürlich Zahl dnd_n gegeeben, so kann man daraus direkt auf die nächste schließendn+1=dn+1d_{n+1} = d_n +1das ist trivial. Oder die ungeraden Zahlen1,3,5,7,9,1,\, 3,\, 5,\, 7,\, 9,\, \dotsHier addiert man 22 und kommt zur nächsten ungeraden Zahlun+1=un+2u_{n+1} = u_n + 2Bei den Quadratzahlen könnte man es genauso machen. Die nn'te Quadratzahl sei qnq_n; dann ist die nächste:qn+1=(qn+1)2q_{n+1} = \left( \sqrt{q_n} + 1\right)^2Beispiel: ist qn=289q_n=289 so ist die nächste Quadratzahl qn+1q_{n+1}qn+1=(289+1)2=(17+1)2=324q_{n+1} = \left( \sqrt{289} + 1\right)^2 = \left( 17 + 1\right)^2 = 324Jetzt ist das aber das mit der Wurzel ein wenig umständlich. Es gibt auch eine andere Möglichkeit. Und zwar kann man die nächste Zahl der Folge auch ohne Wurzel und Quadrat aus seinen beiden Vorgängern qnq_n und qn1q_{n-1} berechnen.

Grundsätzlich solte man sich bei jeder Folge die Differenzen und die Quotienten der Nachbarglieder anschauen. Die Folge der Quadratzahlen ist1,4,9,16,25,36,1, \, 4,\, 9,\, 16,\, 25,\, 36,\, \dots und die Folge der Differenzen ist 41=34-1=3, 94=59-4=5 usw.: 3,5,7,9,11,3,\, 5,\, 7,\, 9,\, 11,\, \dotsund das ist die Folge der ungeraden Zahlen und die unterscheiden sich jeweils um 22. D.h. die nächste Quadratzahl qn+1q_{n+1} berechnet sich aus dem Vorgänger qnq_n erhöht um die Differenz der beiden Vorgänger qnqn1q_n-q_{n-1} plus 22, da die nächste Differenz um 22 größer sein muss.qn+1=qn+(qnqn1)+2=2qnqn1+2q_{n+1} = q_n + (q_n - q_{n-1}) +2 = 2q_n -q_{n-1} +2

Formal käme man da auch mit folgendem Ansatz hin. Man nimmt an, dass qn+1=aqn+bqn1+cq_{n+1} = a \cdot q_n + b \cdot q_{n-1} + cAber wie groß sind nun aa, bb und cc? Dazu bemühen wir die explizite Darstellung - wir wissen ja dassqn=n2q_n = n^2Das setze ich oben in die (Probier)Gleichung ein:(n+1)2=an2+b(n1)2+c(n+1)^2 = a \cdot n^2 + b \cdot (n-1)^2 + cDie Faktoren aa, bb und cc müssen nun so bestimmt werden, dass die Gleichung für jedes(!) nn aufgeht. Dazu multipliziere ich aus und sortiere nach den Potenzen von nnn2+2n+1=an2+b(n22n+1)+cn2+2n+1=an2+bn22bn+b+c0=n2(a+b1)=0+n(2b2)=0+(b+c1)=0\begin{aligned}n^2 + 2n +1 &= an^2 + b(n^2 - 2n + 1) +c \\ n^2 + 2n +1 &= an^2 + bn^2 - 2bn + b +c \\ 0&= n^2 \cdot \underbrace{(a+b-1)}_{=0} + n\cdot \underbrace{(-2b - 2)}_{=0} + \underbrace{(b+c-1)}_{=0}\end{aligned}Damit die Gleichung für jedes nn stimmt, müssen die Faktoren vor n2n^2, nn und n0n^0 alle identisch 0 sein.

Aus dem mittleren Term 2b2=0-2b-2 = 0 folgt b=1b=-1 und damit ist a=2a=2 und c=2c=2. Also qn+1=2qnqn1+2q_{n+1} = 2q_n - q_{n-1} + 2Probieren wir das mit qn1=289q_{n-1} = 289 und qn=324q_n=324 dann kommt raus:qn+1=2324289+2=361=192q_{n+1} = 2 \cdot 324 - 289 + 2 = 361 = 19^2Gruß Werner

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Explizit: an : =n2a_n:=n^2

Rekursiv: a1=1a_1=1, an=an1+2(n1)+1a_n=a_{n-1}+2(n-1)+1.

Avatar von 28 k

Das mit der expliziten verstehe ich aber wie geht man bei der rekursiven vor

Das verwirrt mich voll

@rc

Das ist nicht rekursiv, weil man nicht nur auf das Vorgängerglied zurückgreift. sondern auch auf den Index. Erst wenn du auch (n-1) mit Hilfe von an1a_{n-1} ausdrückst, wird es richtig rekursiv.

@ab: Ich kenne den Rekursionsbegriff auch ohne diese Einschränkung, aber auch mit dieser Einschränkung ist es leicht möglich, etwa mit a1=1,an=(an1+1)2fu¨rn>1.a_1 = 1, \quad a_n = \left( \sqrt{a_{n-1}}+1\right)^2\quad \text{für}\quad n>1.

Genau darum ging es mir.

Ich wollte zwar einfach nur, dass statt

an−1+2(n−1)+1

"rein rekursiv" an−1+2√(an−1)+1

geschrieben wird, aber nach binomischer Formel entspricht das auch deinem Term.

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