Integreal mittels vorgebenem Substitutionsvorschlag substituieren/ersetzen

Question

Aufgabe:

$$\int_{a}^{b} = - \frac{\sqrt{t^2 + 9} \cdot (2 t^2 + 18) + 81}{\sqrt{t^2 + 9} \cdot (3 t^2 + 27) + 27 t^2 + 243} dt$$

Der Substitutionsvorschlag soll hier wie folgt gewählt werden:

$$t = 3 \sinh{(y)}$$

$$y = \operatorname{arsinh}\left(\frac{t}{3}\right)$$

$$dt = 3 \cosh{(y)} dy$$

$$3 \cosh{(y)} = \sqrt{t^2 + 3^2}$$

Problem/Ansatz:

Als Ergebnis soll herauskommen:

$$\int_{A}^{B}-\frac{2 \cdot \cosh^3{(y)} + 3}{\cosh^3{(y)} + 3 \cosh{(y)}} dy$$

Frage:

Wie kommt man auf die Substitution?

Answer 1

Wie kommt man auf die Substitution?

--->weil allgemein gilt:

cosh²(t) -sinh²(t) =1 und man dann vereinfachen kann.

Comments

Das Additionstheorem kann ich nicht erkennen.

Kannst du mir sagen an welcher Stelle es auftritt ?

Also ich bin jetzt mal wie folgt vorgegangen:

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Sehe da einfach kein Additionstheorem

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Jo habs verstanden.

Vielen Dank für deine Hilfe :)