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man kann ja den Flächeninhalt des Parallelogramms mit diesen Formeln berechnen:

a*b*sin(α) oder a*ha

Unser Lehrer hat gesagt, dass man den Flächeninhalt mit dem Betrag des Kreuzprodukts von a und b rechnen kann.

Ich kann nicht nachvollziehen, wieso der Betrag von dem Kreuzprodukt die Flächeninhalt ergibt. Kann jemand bitte anhand einer Skizze mir erklären, wieso diese Formel gilt und wo überhaupt der Nullvektor liegt, der durch das Kreuzprodukt entsteht.

Vielen Dank im Voraus!

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Aloha :)

Du hast 2 Vektoren, \(\vec a\) und \(\vec b\), die das Rechteck aufspannen. Du kannst \(\vec b\) auf \(\vec a\) projezieren, diese Projektion von \(\vec b\) subtrahieren und bekommst dann den Vektor, der auf \(\vec a\) senkrecht steht:$$\vec b_\perp=\vec b-\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot\vec a}{a^2}$$Für das Quadrat der Fläche gilt nun:

$$F^2=\left(|\vec a|\cdot|\vec b_\perp|\right)^2=a^2\vec b_\perp^2=a^2\left(\vec b-\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot\vec a}{a^2}\right)^2$$$$\phantom{F^2}=a^2\left(\vec b^2-2\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot\vec b\cdot\vec a}{a^2}+\left(\frac{(\vec b\cdot\vec a)\cdot\vec a}{a^2}\right)^2\right)=a^2\left(b^2-2\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2}{a^2}+\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2\cdot\vec a^2}{a^4}\right)$$$$\phantom{F^2}=a^2\left(b^2-2\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2}{a^2}+\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2}{a^2}\right)=a^2\left(b^2-\frac{(\vec b\cdot\vec a)^2}{a^2}\right)=a^2b^2-(\vec a\cdot\vec b)^2$$$$\phantom{F^2}=a^2b^2-(ab\cos\angle(\vec a,\vec b))^2=a^2b^2(1-\cos^2\angle(\vec a,\vec b))=a^2b^2\sin^2\angle(\vec a,\vec b)$$

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Das ergibt sich direkt aus der geometrischen Definition des Vektorprodukts.

Richtung: "Rechte Hand Regel"

Länge: | a x b | = |a| * |b| * sin(Zwischenwinkel)

Vgl. Parallelogramm-Skizze hier https://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt#Geometrische_Definition z.B.

Parallelogrammfläche = Grundseite * Höhe

Also z.B. Parallelogrammfläche = |a| * (|b| * sin(Zwischenwinkel))

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