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Aufgabe:

Ich soll ein Gleichungssystem über dem Körper Z/3Z lösen.

Habe die Gleichung bereits in Zeilenstufenform gebracht. Also gehen wir von dieser Matrix aus:

1  2  1  0  1  |  1

0  1  2  1  1  |  2

0  0  1  2  2  |  0


Problem/Ansatz:

Wie gesagt, Zeilenstufenform erledigt.
Ich bin vertraut mit den Voraussetzungen in Z/3Z, so gilt z.B 2=-1, 3=0 etc.

Wie kommt man nun auf die Lösungsmenge?

Danke im Voraus,

LG

vor von

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1  2  1  0  1  |  1

0  1  2  1  1  |  2

0  0  1  2  2  |  0
offenbar kann man x4=s und x5=t frei wählen und hat dann

x3 +2s + 2t = 0 ==>  x3 = -2s-2t

damit in die vorletzte:

x2 +2( -2s-2t ) + s + t = 2 ==>   x2 = 3s + 3t + 2

und alles in die erste gibt wohl

(rechne besser mal nach)

 x1 = -4s-5t-3      Also sehen alle Lösungen so aus:

x = (  -4s-5t-3 ; 3s + 3t + 2  ;-2s-2t ; s ; t )

  = (-3;2;0;0;0) + s*(-4;3;-2;1;0) + t*(-5; 3 ; -2 ;0;1)

also L ein 2-dim affiner Unterraum von  ( Z/3Z )^5 .

Und wegen Z/3Z   ist das gleich

(0;2;0;0;0) + s*(2;0;1;1;0) + t*(1; 0 ; 1 ;0;1)

vor von 177 k 🚀

Danke für die schnelle Antwort!

Mit welcher Begründung kann gesagt werden, dass x4 und x5 frei wählbar sind?

weil gilt: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2 und 2+2= 0?

Nein, weil bei 3 linear unabhängigen Gleichung

mit 5 Variablen dies immer so ist, egal über welchem

Körper das betrachtet wird.

Okay.

Sind es auch immer die letzten beiden Variablen, welche frei gewählt werden dürfen?

Sprich, immer x4 und x5, oder kann es auch x1 und x2 sein?


Danke!

LG

Kommt drauf an, wie die Stufenform aussieht.

Wäre es etwa so rausgekommen:

1  2  1  0  1  |  1

0  1  2  1  1  |  2

0  0  0  1  2  |  0

Dann könntest du x5 und x3 frei wählen.

oder so:

1  2  1  0  1  |  1

0  1  2  1  1  |  2

0  0  0  0  1  |  4

Dann wäre ja x5=4 und beim weiteren

rückwärts auflösen gäbe es erst wieder eine

Gleichung für x2, also wäre x3 und x4 frei

wählbar.

Okay, hast du einfach so ein geschultes Auge, dass dir direkt klar ist, welche die freien Variablen sind? ^^

weil in deinem ersten Bsp ist x3 ja nicht gleich x5.. oder? :D

Sry, dass ich es nicht sofort kapiere ^^

habs verstanden, wenn man weiterrechnet, ergibt es sich.

Eine Sache verstehe ich aber immer noch nicht:

Du sagst: x3 +2s + 2t = 0 ==>  x3 = -2s-2t= s+t

wieso ist -2s-2t = s+t??

da komme ich nicht dahinter.

-2s-2t=s+t?

hm..


Wenn möglich, bitte erklären! :)

Kann ich auch nicht erklären, weil es halt falsch war.

Korrigiere ich oben.

In Z/3Z gilt doch -2 = -2 + 3 = 1

Also auch -2s-2t =s+t.

Hast recht, war ja doch alles richtig, ich hatte bei meiner

"Korrektur" nicht die ganze Aufgabe nochmal gelesen.

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