Integrale (Symmetrische Grenzen)

Question

a)

Es sei f : ℝ → ℝ  eine gerade Funktion. Zeigen Sie, dass dann fur jedes a ∈ ℝ gilt

$I_a:= \int\limits_{-a}^{a} f(x) \text{ }dx=2\int\limits_{0}^{a} f(x) \text{ } dx$

b) Welchen Wert hat I_a , wenn f eine ungerade Funktion ist? Beweisen Sie Ihre Aussage.

Problem:

Ich bin erst im ersten Semester und Mathe war immer meine schwacheste Seite. Hat jemand eine Idee, wie diese Aufgabe zu lösen ist?

Comments

Gerade Polynomfunktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse.

Ungerade Polynomfunktionen sind punktsymmetrisch zu (0|0). Hier ist $\int\limits_{-a}^{a}$ f(x)dx = 0.

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Gerade Polynomfunktionen  ...  

Von Polynomfunktionen ist in der Frage keine Rede!

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Ich denke, dass das im Mathe-Studium nicht als Beweis ausreicht.

Answer 1

Vielleicht so:

Gerade Funktionen f haben eine ungerade Stammfunktion F. (Beweis mit Kettenregel)

F(-a)=-F(a)
I=F(a)-F(-a)=F(a)+F(a)=2F(a)

Comments

Gerade Funktionen f haben eine ungerade Stammfunktion F.

Zur Vermeidung von Missverständnissen sollte man wohl der Vollständigkeit halber erwähnen, dass nicht jede Stammfunktion einer geraden Funktion ungerade ist.

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@Wolfgang

Deshalb habe ich "eine" Stammfunktion geschrieben. Wobei die Integrationskonstante C beim subtrahieren sowieso wegfällt.

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Das hatte ich durchaus in Erwägung gezogen.

Deshalb  "Zur Vermeidung von Missverständnissen ..."  :-)

Answer 2

Aloha :)

$$\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx=\int\limits_{-a}^0f(x)\,dx+\int\limits_{0}^a f(x)\,dx$$Substituiere im ersten Integral: $y:=-x\;;\;y(-a)=a\;;\;y(0)=0\;;\;x=-y\;;\;dx=-dy$$$=\int\limits_{a}^0f(-y)\,(-dy)+\int\limits_{0}^a f(x)\,dx=\int\limits_{0}^a f(-y)\,dy+\int\limits_{0}^a f(x)\,dx$$Benenne $y$ in $x$ um:$$\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx=\int\limits_{0}^a f(-x)\,dx+\int\limits_{0}^a f(x)\,dx$$

1. Fall: $f$ ist gerade, also $f(-x)=f(x)$:$$\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx=\int\limits_{0}^a f(-x)\,dx+\int\limits_{0}^a f(x)\,dx=\int\limits_{0}^a f(x)\,dx+\int\limits_{0}^a f(x)\,dx=2\int\limits_{0}^a f(x)\,dx$$2. Fall: $f$ ist ungerade, also $f(-x)=-f(x)$:$$\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx=\int\limits_{0}^a f(-x)\,dx+\int\limits_{0}^a f(x)\,dx=-\int\limits_{0}^a f(x)\,dx+\int\limits_{0}^a f(x)\,dx=0$$

Comments

Wie einfach und klar Mathe sein kann, wenn es richtig erklärt wird...!!!

Danke dafür 8)