Hallo,
den Wert von \(f\left(2 v_{1}+v_{2}-3 v_{3}+2 v_{4}\right)\) als Linearkombination von \(w_{1}, w_{2}, w_{3}\) erhältst Du unter Ausnutzung der Linearität von \(f\) und der gegebenen Darstellungsmatrix. Also es gilt ja \(f\left(2 v_{1}+v_{2}-3 v_{3}+2 v_{4}\right)=2 f\left(v_{1}\right)+f\left(v_{2}\right)-3f\left( v_{3}\right)+2f\left( v_{4}\right)\) und gleichzeitig weißt Du ja anhand der Darstellunsgmatrix, wie die Bilder der Basisvektoren sich als Linearkombinationen der \(w_{1}, w_{2}, w_{3}\) ausdrücken lassen.
Bezüglich Surjektivität und Injektivität erkennt man leicht, dass der Zeilenraum die Dimension 2 besitzt. Da die Dimension des Zeilenraums aber stets mit der Dimension des Bildes übereinstimmt, besitzt das Bild von \(f\) die Dimension 2. Dadurch weißt Du schon mal, dass das Bild nicht jeden Vektor aus \(W\) enthalten kann, da \(W\) die Dimension 3 besitzt, ergo ist f nicht surjektiv. Da das Bild von \(f\) aber Dimension 2 besitzt, und \(V\) Dimension 4, folgt mit dem Rangsatz, dass der Kern von \(f\) auch die Dimension 2 besitzt, ergo besteht der Kern aus mehr als nur dem Nullvektor, womit die Abbildung auch nicht injektiv ist.
Um zu entscheiden, ob \(3 w_{1}+5 w_{2}\) im Bild liegt, überlege Dir mal, ob Du Skalare \(\lambda_1, \lambda_2\in\mathbb{R}\) derart wählen kannst, dass\(f(\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_3)=3 w_{1}+5 w_{2}\) gilt.
piquadrat
