Eine Determinante berechnen

Question

Kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Sei $V$ ein $n$ -dimensionaler $K$ -Vektorraum mit Basis $\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)$ und $\omega$ eine Determinantenform auf $V$ mit $\omega\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right)=1 .$ Sei $v=\lambda_{1} b_{1}+$ $\ldots+\lambda_{n} b_{n} \in V .$ Berechnen Sie
$$\omega\left(v+b_{1}, \ldots, v+b_{n}\right)$$

Comments

Schlage die Eigenschaften einer Determinantenfunktion nach, z.B auf Wikipedia. Du brauchst hier hauptsächlich die Multilinearität.

Rechne dann einfach aus.

Nachtrag: ist vielleicht doch nicht so einfach :D

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Danke, ich komme auf

$ω(v+b_{1} , ..., v+b_{n} ) = 1 + \lambda_{1} + ... + \lambda_{n}$.

Kann das passen?

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Du brauchst hier hauptsächlich die Multilinearität.

Na ja, schön einfach wird das Ergebnis aber durch das "alternierend".

Das Ergebnis bekomme ich auch.  Wenn es ganz pingelig gemacht

werden soll, muss wohl vollst. Induktion her.

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Danke; ja, an vollständige Induktion hatte ich auch einmal gedacht...

Answer 1

Hallo,

deine Determinantenfunktion erfüllt die üblichen Eigenschaften der Standarddetermiante im Kⁿ, daher könnte man die Aufgabe auch durch Zeilen und Spaltenumformungen lösen:

Die Determinante sieht so aus:

$$D=\begin{vmatrix} \lambda_1+1 & \lambda_1 & \lambda_1\\ \lambda_2 & \lambda_2+1 & \lambda_2\\ \lambda_n & \lambda_n & \lambda_n+1 \end{vmatrix}\\$$

(wobei da natürlich überall schräg Leerstellen/Punkte sein sollen, es geht ja nur ums Prinzip).

Du kannst nun die letzte Spalte von allen anderen Spalten anziehen, ohne die Determinante zu verändern:

$$D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & \lambda_1\\ 0 & 1 & \lambda_2\\ -1 & -1 & \lambda_n+1 \end{vmatrix}\\$$

Und jetzt addiert man die erste Spalte, die zweite Spalte usw. zur letzten Zeile , es bleibt:

$$D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & \lambda_1\\ 0 & 1 & \lambda_2\\ 0 & 0 & 1+\lambda_1 +...\lambda_n \end{vmatrix}\\$$

Das ist eine obere Dreiecksmatrix, deren Determinante gerade dem Produkt der Hauptdiagonalen entspricht.

$$D=1+\lambda_1 +...\lambda_n$$

Comments

Super cool, vielen Dank! Aber am Ende meinst du "Und jetzt addiert man die erste *Zeile, die zweite Zeile usw. zur letzten Zeile...", oder?

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Eine Frage: Woran hast du gesehen, dass die Determinantenfunktion die üblichen Eigenschaften der Standarddeterminante im $K^n$ erfüllt?

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Im Wikipedia Artikel steht, dass in einem Vektorraum zwei versch. Determinantenfunktion sich nur um einen konstanten Faktor unterscheiden. Da hier

w(b_1,...,b_n) =1 gilt, ist das die Standarddeterminante.

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Ist das auch der Grund, warum in deiner Determinante nur noch Koeffizienten auftauchen und keiner der Basisvektoren? Denn das habe ich immer noch nicht so recht verstanden :(

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Die Spalten sind Vektoren, die Basisvektoren erkennst u an dem +1.

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Hm, aber der erste Spaltenvektor ist dann doch

$((\lambda_{1}+1)b_{1}+\lambda_{2}b_{2}+...+\lambda_{n}b_{n})$

und nicht einfach nur

$((\lambda_{1}+1)+ \lambda_{2}+...\lambda_{n})$ ?

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In der Matrix stehen nur die Koeffizenten der Einträge der Vektoren. Da steht nix mit b_1 usw. drin.

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Ja, aber wieso? Müsste da b_i nicht auch vorkommen?