Zeigen Sie, dass x = 2a eine Nullstelle von fa ist.

Question

f_a(x) = x³ - 3a²x + 2a³

Zeigen Sie, dass x = 2a eine Nullstelle von f_a ist.

Ich komme auf 0 = 4, was eine falsche Aussage ist.
Könnte es sein, dass hier x = -2a gemeint wird? Weil bei x = -2a bekomme ich 0 = 0, also eine wahre Aussage.

Answer 1

Hallo,

die Gleichung algebraisch zu lösen, ist mit einer cleveren Subsitution möglich, nämlich $x:=w-\frac{p}{3w}$. Hier ist es aber von Vorteil die $x=2a$ einfach einzusetzen und zu überprüfen, ob $f(2a)\overset{?}=0$ - dem ist übrigens nicht so, es liegt eine Nullstelle bei $x_1=-2a$ oder $x_2=a$.

Comments

"Zeigen Sie, dass x = 2a eine Nullstelle von f_a ist." würde ich mal als Aufforderung zur Prüfung von "f_a(2a)=0" verstehen. Selbstverständlich kann ich mich auch irren...

---

Hast du meine ganze Antwort gelesen?

---

"Hast du meine ganze Antwort gelesen?"

Nein, das habe ich tatsächlich nicht gemacht. Das hätte ich machen sollen – tut mir leid, deine Antwort ist gut!

---

Ich bin Fan von der Subsitution, da sie relativ "unbekannt" ist und möchte sie nicht außen vor lassen. Apropos, kein Problem, das ist mir auch schon passiert.

Schönen Abend noch!

---

Mir war sie unbekannt und ich habe es mal versucht mit etwas Unterstützung von https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Um es nicht unnötig zu verkomplizieren habe ich a=1 gesetzt.

Ich komme aber immer nur auf die Lösung $x=-2$, die Zweite geht mir irgendwo unterwegs verloren... irgendein Rat wo?

Das wollte ich fragen, bis ich fast alles eingetippt hatte und dann meinen Fehler selbstgefunden habe (beim Wurzelziehen im komplexen einen Onlinerechner benutzt und in das gerundete irrationale Ergebnis eine Periode reininterpretiert, die es nicht gab...). Da ich es jetzt aber schon eingetippt habe poste ich es trotzdem :)
(ganz unten kommt trotzdem noch eine Frage)

$$\begin{aligned}x^3&=(w-\frac{p}{3w})^3\\ &= w^3-3w^2\frac{p}{3w}+3w\left(\frac{p}{3w}\right)^2-\left(\frac{p}{3w}\right)^3\\ &=w^3-3w\frac{p}{3w}\left(w-\frac{p}{3w}\right)-\left(\frac{p}{3w}\right)^3\\ x^3&=-px -\left(\frac{p}{3w}\right)^3+w^3\\ \end{aligned}$$

Koeffizientenvergleich mit der Ausgangsgleichung:
$x^3=3x-2$
liefert
$p=-3$
und (mit p gleich eingesetzt)
$\frac{1}{w^3}+w^3=-2$.

Substitution mit $z= w^3$, umformen, mit pq lösen:

$$z^2+2z+1=0 \implies z_{1/2}=-1$$

Resubstitution und inkl. komplexer Lösungen berechnen:

$$w^3=-1\\ \implies w_1=-1; \quad w_2=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i;\quad w_3=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$$

p und w einsetzen in die anfängliche Substitution $x=w-\frac{p}{3w}$ liefert:

$x_1=-2;\quad x_{2/3}=1$

Funktioniert das mit der Substitution für jede kubische Gleichung ohne quadratische Komponente oder müssen irgendwelche extra Vorraussetzungen gegeben sein?

---

Hier ist der einzige Nachweis, den ich für die Substitution kenne, hier gibt es (scheinbar) keine Einschränkungen:

http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html

Ansonsten werde ich selbst nochmal ein wenig darüber sinnieren. Freut mich, dass du durch die Antwort inspiriert wurdest.

---

Aha, demnach ist das $p$ (wie man wahrscheinlich vermuten hätte könne) der Koeffizient vor dem $x$... das vereinfacht die Rechnung ja nochmal ein kleines wenig, wenn man gleich mit $x=w+\frac{1}{w}$ substituiert.

Dann brauch man auch nicht mehr den (nicht gerade offensichtlichen) Schritt mit dem Koeffizientenvergleich :)

---

Nein, den brauchst du in der Tat nicht.

Answer 2

Könnte es sein, dass hier x = -2a gemeint wird?

Das denke ich auch.    Oder x=a.

Answer 3

Aloha :)

Das sehe ich genauso wie du:

$$(2a)^3-3a^2(2a)+2a^3=8a^3-6a^3+2a^3=4a^3\ne0$$$$(-2a)^3-3a^2(-2a)+2a^3=-8a^3+6a^3+2a^3=0a^3=0$$

Bei $x=2a$ liegt keine Nullstelle vor, bei $x=-2a$ finden wir eine Nullstelle.

Answer 4

Entweder ist die Funktion falsch oder die angegebenen Nullstelle.

Prüfe mal ob die Nullstelle

x = -2·a

lautet oder die Funktion

fa(x) = x³ - 3·a²·x - 2·a³

Vorzeichen können so tückisch sein und werden gerne mal vertauscht.

Comments

Nope, Fehler liegt beim Verlag

---

Das mit den Vorzeichen gilt auch für Verlage bzw. Autoren :)

Mir hat mal eine Verlagsmitarbeiterin, als ich für ein Buch mal 8 Fehler gemeldet hatte, erklärt, dass die Verlage ziemlich im Druck stehen, wenn die Bundesländer immer zwischen G8 und G9 wechseln und die dann auch noch fast für jedes Bundesland ein eigenes Buch machen müssen.

Ich persönlich halte die gesamte Schulpolitik für verbesserungswürdig. Warum nicht ein verbindlichen Lehrplan für ganz Deutschland und dann auch nicht mehr unterschiedliche Bücher für die einzelnen Bundesländer.

---

Ja, das merke ich jetzt, wenn ich die Aufgaben wirklich Aufgabe für Aufgabe durchgehe in meinen Ferien xD