Homomorphismus - Beweisen

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass es sich bei g:IR→IR, g(x)=1/x bezüglich der Multiplikation nicht um einen Isomorphismus handelt.

b) Auf welcher Menge und Verknüpfung wäre g ein Homomorphismus? Geben Sie für Urbildmenge und Bildmenge jeweils eine Menge mit Verknüpfung an und zeigen Sie, dass g tatsächlich ein Homomorphismus ist.

c) Zeigen Sie, dass die Abbildung h:IR→IR, h(x)=x/3 mit jeweils der Addition ein Homomorphismus ist.

Comments

Meine Idee zu a)

injektiv: x,y ∈IR mit g(x) = g(y)

-> 1/x = 1/y -> x = y

 Surjektivität: y ∈IR , y = 1/x

-> y = 1/x <=> x = 1/y da y≠0 gibt es für alle  y ∈IR min.1  x ∈IR mit g(x) = g(y)

aber wie geht es mit dem Homomorphismus weiter...

Answer 1

a) Zeigen Sie, dass es sich bei g:IR→IR, g(x)=1/x bezüglich der Multiplikation nicht um einen Isomorphismus handelt.

weil g(0) nicht definiert ist.


b) Auf welcher Menge und Verknüpfung wäre g ein Homomorphismus?

IR* = IR\{0} jeweils mit der Mult. als Verknüpfung

und dann g:IR*→IR*, g(x)=1/x , dann ist es wohl sogar ein Isomorphismus

Geben Sie für Urbildmenge und Bildmenge jeweils eine Menge mit Verknüpfung an und zeigen Sie, dass g tatsächlich ein Homomorphismus ist.
Nachweis für Hom:  g(x*y) = 1/(x*y) = 1/x  *   1/y   = g(x) * g(y) 

c) Zeigen Sie, dass die Abbildung h:IR→IR, h(x)=x/3 mit jeweils der Addition ein Homomorphismus ist.

h(x+y= = (x+y)/3  =  x/3   + y/3   = h(x) + h(y) .