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Hallo

Aufgabe:

Sei n durch vier teilbar. Wir betrachten Zn* ...

a) Zeige, dass n-1 und (n/2) -1 beide Elemente von Zn* sind und bestimme ihre inversen Elemente.

b) Sei außerdem n≥8. Zeige, das Zn* nicht zyklisch ist.

Problem?:

Alles... Ich weiß gar nicht wie ich beide Aufgaben zeigen kann...

Kann mir bitte jemand helfen ?

:)

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Was ist Zn*?

Tipp zu (a): n-1 und (n/2)-1 sind selbstinvers.

1 Antwort

+1 Daumen

Zn* soll ja wohl die multiplikative Restklassengruppe mod n ohne die 0 sein?

Es ist n-1 sicherlich nicht 0, weil kein Vielfaches von n.

Mit dem Tipp von Spacko zeigst du

(n-1)*(n-1) = n^2 -2n +1 = n*(n-2) + 1

und das ist kongruent 1 mod n  weil die Differenz

(  n*(n-2) + 1  ) - 1 = n*(n-2) Vielfaches von n ist.

Da n Vielfaches von 4 ist, ist n/2 ≥ 2 also n/2-1 > 0,

und auch kein Vielfaches von n, also aus Zn*.

und wie oben:

(n/2-1)*(n/2-1) = n2/4 - n + 1 = n·(n/4 - 1) + 1.

also wieder  kongruent 1 mod n ; denn wegen

4 | n ist  n/4 ganzzahlig.

Avatar von 287 k 🚀

Falsch ausmultipliziert?
(n/2-1)·(n/2-1) = n^2/4 - n + 1 = n·(n/4 - 1) + 1.

Danke, ich korrigiere.

Vielen Dank :)

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