Du möchtest für eine lineare Abbildung (zwischen endlich. dim. VR) f : V→W Basen B und C bestimmen, s.d.
MCB(f)=(Er000)
Erinnerung: In den Spalten von MCB(f) stehen die Koordinaten - der Bilder der Basisvektoren von B - bezüglich der Basis C.
Um das zu erreichen geht man eben wie folgt vor:
1. Man bestimmt eine Basis (w1,...,wr) des Kerns kerf. Egal wie C aussieht: Die Koordinaten von f(wi) bzgl. C sind immer 0.
2. Man ergänzt das System (w1,...,wr) zu einer Basis B=(v1,...,vk,w1,...,wr) von V. Die Vektoren des Kerns packt man dabei nach hinten, da man ja hinten die Nullspalten haben möchte.
Es gilt nun f(vi)=0. Insb. bekommen wir also auch für jede Basis C Koordinaten ungleich 0.
3. Man beginnt nun C=(u1,...,ul) zu konstruieren:
Wir möchten, dass die Koordinaten von f(v1) gerade der erste Einheitsvektor (1,0,...,0)T sind. D.h. es muss gelten:
f(v1)=1u1+0u2+0u3⋯+0ul
Die Koordinaten von f(v2) sollen gerade der zweite Einheitsvektor sein:
f(v2)=0u1+1u2+0u3⋯+0ul
usw. wir wählen also u1=f(v1),...,uk=f(vk).
Warum ist dimW=l≥k? Warum ist das so gewählte System (u1,...,uk) linear unabhängig?
4. Ergänzt man nun (u1,...,uk) zu einer Basis C=(u1,...,uk,uk+1,...,ul) von W ist man fertig.
Wie man in Schritt 2 und 4 zu Basen ergänzt ist vollkommen egal. Es ist aber meistens einfach mit Standardvektoren zu ergänzen.