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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Menge M = {(a,0 ; 0,b)} mit der Matrixmultiplikation eine abelsche Gruppe ist.

Ansatz: zz. I.Abgeschlossenheit , II. AssoziativitÀt (x

*y)*z=x*(y*z), III. Neutralelement x*e=x , IV. Inverselement x∗y=e, V. KommutativitĂ€t x*y=y*x

Problem: Ich bin mir nicht so sicher, weil es eine Matrix ist.

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Es ist nicht klar, woraus die Menge M besteht. Was genau sind die Elemente von M? Wie viele Elemente hat M? Was ist mit a und b gemeint?

M ist die Matrix. a,b element C, ab ungleich 0

M = (  a  0

          0  b  )

Was hat "1*u = u" mit Abgeschlossenheit zu tun?

wie zeige ich denn die abgeschlossenheit`?

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Es geht wohl um die Menge

$$ M = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} \mid \alpha, \beta \in \mathbb R \right\}. $$

Intuitiv: Das sind alle 2x2-Matrizen, deren Gegendiagonale nur NulleintrÀge enthÀlt.

Hier nur exemplarisch fĂŒr die Matrizenaddition, du sollst es in diesem Fall aber fĂŒr die Matrizenmultiplikation zeigen - das ist ein bisschen komplizierter, weil die Multiplikation von Matrizen nicht komponentenweise erfolgt. Aber das Prinzip ist dasselbe und wenn du das verstanden hast, kriegst du es mit der Multiplikation auch hin.

Wir zeigen: \((M, +)\) ist eine abelsche Gruppe.

Abgeschlossenheit: Seien \(\begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 \\ 0 & \beta_1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \alpha_2 & 0 \\ 0 & \beta_2 \end{pmatrix} \in M\) mit \(\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 \in \mathbb R\). Dann gilt auch

$$ \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 \\ 0 & \beta_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_2 & 0 \\ 0 & \beta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 + \alpha_2 & 0 \\ 0 & \beta_1 + \beta_2 \end{pmatrix} \in M, $$

denn auch hier besteht die Gegendiagonale nur aus NulleintrĂ€gen. AssoziativitĂ€t und KommutativitĂ€t zeigt man dann ganz einfach durch Nachrechnen (im Grunde folgen beide Sachen sofort aus AssoziativitĂ€t und KommutativitĂ€t in \((\mathbb R, +)\)). Dann noch Existenz des neutralen und inversen Elements:

Sei \(\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} \in M\) mit \(\alpha, \beta \in \mathbb R\).

Hier ist offensichtlich die Nullmatrix das neutrale Element, denn es gilt

$$\begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$$

und das inverse Element ist die Matrix, die die entsprechenden inversen Elemente (diese existieren in \(\mathbb R\)!) auf der Diagonale enthÀlt:

$$ \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -\alpha & 0 \\ 0 & -\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\alpha & 0 \\ 0 & -\beta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Das sind alles keine Raketenwissenschaften. Aber wichtig ist es zu verstehen, wie man auf das neutrale und inverse Element kommt und das formal zeigt. Alles klar?

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Ist das immer so, dass man die Nullmatrix fĂŒr das Neutralelement verwendet soll ?

Kommt natĂŒrlich auf die Aufgabe an. Überleg dir halt, welche Matrix du mit einer gegebenen Matrix verknĂŒpfen (hier addieren) musst, damit sich an der gegebenen Matrix nichts Ă€ndert. Addition von Matrizen heißt hier, dass wir einfach alle EintrĂ€ge komponentenweise addieren. Das heißt, wenn ich eine Matrix addiere, die in allen EintrĂ€gen nur \(0\) enthĂ€lt, Ă€ndert sich auch an den EintrĂ€gen der gegebenen Matrix nichts.

AusfĂŒhrlicher:

$$ \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & \beta + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix} $$

Klar?

Aber: Ja. Wenn es um Matrizen mit der VerknĂŒpfung der ĂŒblichen Addition geht, ist die Nullmatrix das neutrale Element.

Ich versteh nicht, wie man AssoziativitÀt und KommutativitÀt in dem Kontext zeigen soll.

Ich zeige es dir jetzt nur mal fĂŒr die KommutativitĂ€t: Du musst zeigen, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge wir die Matrizen addieren. Hier:

\( \begin{aligned} \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 \\ 0 & \beta_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_2 & 0 \\ 0 & \beta_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \alpha_1 + \alpha_2 & 0 \\ 0 & \beta_1 + \beta_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \alpha_2 + \alpha_1 & 0 \\ 0 & \beta_2 + \beta_1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \alpha_2 & 0 \\ 0 & \beta_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 \\ 0 & \beta_1 \end{pmatrix} \end{aligned}\)

Wir fĂŒhren die KommutativitĂ€t auf die KommutativitĂ€t in \(\mathbb R\) zurĂŒck: Im zweiten Schritt können wir \( \alpha_1, \alpha_2 \) bzw. \( \beta_1, \beta_2 \) vertauschen, weil wir wissen, dass die Addition reeller Zahlen kommutativ ist.

Oben habe ich die erste Matrix links und die zweite Matrix rechts, unten die zweite Matrix links und die erste rechts: Und genau das ist KommutativitÀt. Die Matrizen waren beliebig, also ist die Addition von Matrizen dieser Menge kommutativ. Die AssoziativitÀt geht jetzt ganz analog.

Die Nullmatrix als NE fĂŒr die Matrixmultiplikation, interessant.

Danke @Larry. Lesen mĂŒsste man können.... habe meinen Beitrag mal editiert. Danke fĂŒr deinen Hinweis.

\( (M \setminus \{0\}, \cdot) \) ist keine Gruppe. Zu zeigen ist, dass

$$ \left( M \setminus \left\{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} ~\middle|~ a,b \in \mathbb{R}, ab \neq 0 \right\}, \cdot \right) $$

eine Gruppe ist.

\(\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} \in M \:\big\backslash \left \{    \begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix} : a,b \in \mathbb{C} \wedge ab \neq 0    \right \} \)

Ich meine auch ab=0. Danke.

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