Was ist die Ableitung dieser Funktion y= x1/x?

Question

Berechne die Ableitung folgender Funktionen:

x^1/x

und

$$\sqrt { 1 + \sqrt { x } }$$

vgl: https://www.mathelounge.de/6964/1-und-2-ableitung-folgender-funktion…

Comments

Die Zweite wurde hier gestern schon vorgerechnet mit der Kettenregel.

https://www.mathelounge.de/6964/1-und-2-ableitung-folgender-funktion…

Die Erste muss wohl x^1/x heissen. Oder?

x¹/x ist nämlich einfach 1 für alle x≠0. Das hätte die Ableitung (x¹/x)' = 0 für alle x≠0 und für x=0 wäre keine Ableitung definiert.

Answer 1

f(x) = x^{1/x} = e^ln(x^{1/x}) = e^{1/x * ln(x)}

Das können wir mit der Kettenregel und Produktregel ableiten

f '(x) = e^{1/x * ln(x)} * (-1/x^2 * ln(x) + 1/x * 1/x)

f '(x) = x^{1/x} * ((1 - ln(x))/x^2)

f '(x) = x^{1/x - 2} * (1 - ln(x))