Bestimme zu der Funktion f(x)=x2-2x+1 die Steigung des Graphen an den Stellen 1 und -2

Question

Aufgabe:

Bestimme zu der Funktion f(x)=x²-2x+1 die Steigung des Graphen an den Stellen 1 und -2

Answer 1

Aloha :)

Auf Grund deiner bisherigen Fragen vermute ich, dass ihr mit dem Thema Ableitungen gerade erst angefangen habt und du die Ableitungsregeln noch nicht gelernt hast. Daher verwende ich hier die $h$-Methode.

Für die Funktion $f(x)=x^2-2x+1$ bilden wir den wir den sogenannten Differenzenquotienten:

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\left[(x+h)^2-2(x+h)+1\right]-\left[x^2-2x+1\right]}{h}$$Die Steigung der Funktion $f$ im Punkt $x$ erhältst du daraus, indem du $h\to0$ konvergieren lässt. Das funktioniert aber nicht, weil $h$ im Nenner steht und wir dann durch $0$ dividieren würden, was nicht möglich ist. Daher formen wir den Differenzenquotienten so um, dass wir $h\to0$ leicht einsetzen können:

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)^2-2(x+h)+1-x^2+2x-1}{h}$$$$\phantom{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\frac{(x+h)^2-2(x+h)-x^2+2x}{h}$$$$\phantom{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\frac{(x^2+2xh+h^2)-2x-2h-x^2+2x}{h}$$$$\phantom{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=\frac{(2xh+h^2)-2h}{h}=\frac{2xh+h^2-2h}{h}=\frac{h(2x+h-2)}{h}$$$$\phantom{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}=2x+h-2$$Hier können wir nun $h\to0$ einsetzen und erhalten die Ableitung $f'(x)$, also die Steigung der Funktion $f$ im Punkt $x$:$$f'(x)=2x-2$$Für die Stellen $x=1$ und $x=-2$ finden wir:

$$f'(1)=0\quad;\quad f'(-2)=-6$$

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f₁(x) = x²-2x+1f₂(x) = 9-6·(x+2)f₃(x) = 0Zoom: x(-3…3) y(-0,5…15)

Answer 2

f '(x)=2x-2

f '(1)=0

f '(-2)=-6

Answer 3

Nach der Umformung $$f(x)=x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2$$ ergibt sich als Ableitung $$f'(x)=2\cdot\left(x-1\right)$$ und damit dann $$f'(1)=0\quad\text{und}\quad f'(-2)=-6.$$