Herleitung / Interpretation der Pfadregeln in der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Question

Liebe Lounge, mich beschäftigt eine augenscheinlich einfach Frage nun seit längerem.

Wie kann man die 1. Pfadregel (Pfadmultiplikation) und die 2.Pfadregel (Pfadaddition) logisch herleiten/ erklären.

Angenommen eine faire Münze wird zweimal geworfen.

A: Die erste Münze zeigt Kopf.

B: Die zweite Münze zeigt Kopf.

Da sich die Ereignisse nicht gegenseitig beeinflussen sind sie unabhängig voneinander.

1.Pfadregel:

Sei beispielsweise nach dem Ereignis gefragt, dass beide Würfe Kopf zeigen, also P (A∩B)=P(A)*P(B)

=1/2*1/2=25%

Aber wieso ist das so? Meine Idee wäre die Folgende:

P(A)=0,5 gibt einmal die theoretische Wahrscheinlichkeit an, dass das Ereignis eintritt. Nach dem Gesetz der großen Zahlen gehen wir aber zudem davon aus, dass sich die relative Häufigkeit bei sehr häufiger Wiederholung des Zufallsversuchs um den Wert 1/2 einpendelt. Sprich: In ca. der Hälfte der Durchgänge wird die Münze Kopf anzeigen.

Gleiches gilt nun für P(B). Betrachten wir jetzt aber nur die Fälle, in welchen A schon eingetreten ist (also in der Hälfte der Fälle) so können wir folgern, dass nun wiederum in der Hälfte dieser Fälle auch B eintreten wird.

Insgesamt wird also (bei sehr Häufiger Durchführung) in einem Viertel der Fälle A und B eintreten.

Da die Wahrscheinlichkeiten gerade für den Wert stehen, dem sich die relative Häufigkeit bei sehr häufiger Durchführung annähert, gilt für P (A∩B)=P(A)*P(B). Entlang des Pfades wird also multipliziert. Dies gilt im Übrigen auch für abhängige Ereignisse mit P (A∩B)=P(A)*P(B I A), wegen der selben Erläuterung.

2. Pfadregel 

 Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zwei Würfen einmal Kopf fällt.

P(A ∪ B)= P(A)*P(nichtB)+P(nicht A)*P(B)= 1/2*1/2 + 1/2*1/2=1/2

Mit der gleichen Begründung von oben (Annäherung der relativen Häufigkeiten bei häufiger Durchführung an den Wert der theoretischen Wahrscheinlichkeit) folgt:

In einem viertel aller Fälle wird der erste Wurf Kopf zeigen und der zweite Wurf nicht. In einem weiteren Viertel wird es genau umgekehrt sein, sodass insgesamt in der Hälfte der Fälle einmal Kopf (Reihenfolge egal) fällt.

Was haltet ihr von diesem Ansatz? Und viel wichtiger: Muss man den "Umweg" über die relativen Häufigkeiten und das Gesetz der großen Zahlen gehen? Oder könnte man z.B. für die 1. Pfadregel im obigen Beispiel einfach sagen: "In der Hälfte der Fälle erwartet man Kopf. In der Hälfte dieser Fälle erwartet man beim zweiten Wurf auch wieder Kopf. Deshalb erwartet man in einem Viertel der Fälle bei beiden Würfen Kopf."

 Wobei das den Erwartungswert benutzen würde... Ich würde es gerne so einfach wie möglich aber so korrekt wie nötig verbalisieren können.

LG und

Kombi

Answer 1

Es gilt das Fundamentalprinzip der Kombinatorik.

Für die erste Münze gibt es zwei Möglichkeiten und für die zweite Münze gibt es auch zwei Möglichkeiten.

Daher gibt es insgesamt 2 * 2 = 4 Möglichkeiten wie die Münzen fallen können.

Dieses kannst du auch in der Ergebnismenge Ω festhalten.

Ω = {KK, KZ, ZK, ZZ}

Weil nach Laplace alle Ausgänge gleich Wahrscheinlich sind hat jeder Ausgang die Wahrscheinlichkeit 1/4.

Comments

Lieber Coach, das ist ein sehr guter Hinweis.

Du erwähnst jetzt explizit Laplace. In diesem Fall sind ja wirklich alle Ergebnisse gleichwahrscheinlich.

Aber wie klärst du es, wenn keine Gleichverteilung vorliegt?

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Beziehungsweise: Wie lenkst du dann über von der Kombinatorik zu den Pfadregeln?

Sagst du dann einfach: Und auf 1/4 kommt man auch, wenn man 1/2*1/2 rechnet?

UND: Ist mein Ansatz nicht sinnvoll!?

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Was ist denn im Grunde die Wahrscheinlichkeit.

Laplace hat die Wahrscheinlichkeit definiert als die Anzahl günstiger Möglichkeiten durch die Anzahl aller Möglichkeiten.

Also Zähler und Nenner repräsentieren bei Laplace Möglichkeiten.

Was passiert jetzt wenn man zwei Brüche multipliziert.

Man multipliziert Zähler und Nenner getrennt.

Also man multipliziert nach dem Fundamentalprinzip der Kombinatorik die Anzahl der günstigen Möglichkeiten entlang des Pfades.

Und man multipliziert nach dem Fundamentalprinzip der Kombinatorik auch die Anzahl aller Möglichkeiten entlang des Pfades.

Wird ein Würfel dreimal geworfen gibt es nach dem Fundamentalprinzip 6 * 6 * 6 = 216 mögliche unterscheidbare Ausgänge. Und jeder Ausgang hat die Gleiche Wahrscheinlichkeit.

Interessiert man sich jetzt für die Wahrscheinlichkeit dreimal mind. eine 5 geworfen zu haben so wären das im ersten, zweiten und dritten Wurf jeweils 2 günstige Ausgänge. Also git es insgeamt 2 * 2 * 2 = 8 günstige Ausgänge. Damit ist die Wahrscheinlichkeit 8 / 216.

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Okay. Das passt.

Was, wenn der Wkeitsbegriff weiter geht:

A ist ein Ereignis mit P(A)=0,3 und B ist ein Ereignis mit P(B I A)=0,7.

Wie würdest du es da erklären ? Geht ja jetzt nicht mehr mit Kombinatorik.

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Selbst da könnte man die Dezimalzahl ja als Bruch schreiben.

0.3 = 3/10 = 30/100 = 30%

Also im Mittel tritt es in 3 von 10 Fällen ein.

Oder in 30 von 100 Fällen ein.

Aber Wahrscheinlichkeiten können natürlich auch irrational sein.

Aber warum sollte man jetzt anfangen plötzlich ganz anders zu rechnen und nicht mehr multiplizieren, wo es doch bisher so gut geklappt hat.

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Du weißt vermutlich das die Potenzregeln zunächst nur für natürliche Zahlen im Exponenten definiert worden waren.

Später kam man dann auch dazu negative Zahlen im Exponenten und Brüche im Exponenten zuzulassen.

Dann hat man untersucht ob die Gesetze die bisher galten auch für diese Fälle weiter gelten und weil das so war gelten die Potenzgesetze auch für negative Zahlen und Brüche im Exponenten.

Ich könnte mir vorstellen das sich die Wahrscheinlichkeit auch Angefangen von Laplace etwas weiter entwickelt hat.

Answer 2

Es gibt den Begriff der Verfügbarkeit

Beispiel:Du fährst mit dem Auto nach München und das Auto hat ja 4 Räder

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,dass du ohne Panne nach München kommst,wenn die Verfügbarkeit eines Rades P(Rad)=99%=0,99 beträgt ?

P(ges)=P1*P2*P3*P4=0,99*0,99*0,99*0,99=0,99^4=0,96..→ 96%

Je mehr Teile notwendig sind,damit man ohne Panne nach München kommt,um so geringer ist die Wahrscheinlichkeit,dass man ohne Panne ankommt.

Formel P(ges)=P1*P2*...Pn 

Frage:Welche Formel kommt den sonst noch in Frage ?

Hat man wahrscheinlich mit Versuchen ermittelt,wie bei den Kugellagern.