Wie lang ist a bei der Pyramide und r beim Kegel?

Question

Wie lang ist a bzw. r?

a) Quadr. Pyramide

V= 1400cm³
h= 14cm

ich weiß V= 1/3*G*h also 1/3*G*14=1400 daraus ergibt sich G= 300 aber wie groß ist a ?

b) Kegel

O=1400cm²
s=14cm

c) Qudr. Pyramide

O=1400cm²

hs=14cm

Answer 1

a)

Nun, da es sich bei G um den Inhalt der Grundfläche einer quadratischen Pyramide handelt, gilt:

G = a ² = 300

<=> a = √ 300 = 10 * √ 3 = 17,32 cm (gerundet)

b)

Für die Oberfläche O eines Kegels gilt:

O = π r ² + π r s

mit O = 1400 cm ² und s = 14 cm:

π r ² + π r * 14  = 1400 cm ²

<=> r ² + 14 r = 1400 / π

<=> r ² + 14 r + 49 = ( 1400 / π ) + 49

<=> ( r + 7 ) ² = ( 1400 / π ) + 49

<=> r + 7 = ± √ ( ( 1400 / π ) + 49 )

<=> r = ± √ ( ( 1400 / π ) + 49 ) - 7

Die negative Wurzel entfällt aus praktischen Gründen (negativer Radius), also:

<=> r = √ ( ( 1400 / π ) + 49 ) - 7 = 15,24 cm (gerundet)

c)

Ich nehme an, dass mit h_s die Höhe einer der Seitenflächen der Pyramide gemeint ist.

Für die Oberflächeninhalt einer quadratischen Pyramide mit der Grundkantenlänge a gilt dann:

O = a ² + M

wobei M die Mantelfläche ist, für die gilt:

M = 2 * h_s * a, also insgesamt:

O = a ² + 2 * a * h_s

mit h_s = 14 cm und O = 1400 cm ² ergibt sich:

a ² + 28 * a = 1400

<=> a ² + 28 a + 14 ² = 1400 + 14 ² = 1596

<=> ( a + 14 ) ²  = 1596

<=> a + 14 = ± √ 1596

<=> a = ± √ 1596 - 14

Die negative Wurzel entfällt wieder, also:

a = √ 1596 - 14 = 39,95 cm (gerundet)

Comments

woher kommt bei b) die 49?

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und wieso bei c) 28

du sagst doch O= a²+2*a*hs  also a²+2*a*14=1400???

warum dann 28

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woher kommt bei b) die 49?

Das ist die quadratische Ergänzung zu r ² + 14 r . Man berechnet sie, indem man den Koeffizienten des linearen Gliedes durch 2 dividiert und das Ergebnis quadriert.

Hier also:  ( 14 / 2 ) ² = 49

Die quadratische Ergänzung addiert man auf der linken Seite, damit man diese mit Hilfe einer der beiden ersten binomischen Formeln als Quadrat schreiben kann. Damit die Äquivalenz der Gleichungen bestehene bleibt, muss man die quadratische Ergänzung natürlich auch auf der rechten Seite addieren.

und wieso bei c) 28

Nun,

2 * a * 14 = 2 * 14 * a = 28 * a

Aus der 28 ergibt sich dann übrigens die quadratische Ergänzung ( 28 / 2 ) ² = 14 ²

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Bei aufgabe b  berechnest du ja 1400 / pi aber wo bleibst das zweite pi

weil die gleichung lautet pi r²+pi r*14= 1400
und dann rechnest du 1400*pi aber das ist doch noch ein zweites wo bleibt das?

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π r ² + π r * 14  = 1400 cm ²

[pi ausklammern:]

<=> π ( r ² + r * 14 ) = 1400 cm ²

[durch pi dividieren:]

<=> r ² + 14 r = 1400 / π

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ich glaub du verstehest meine frage nicht

du hast jetzt ein pi ausgeklammert wo bleibt das andere

pi*r²+pir*14=1400

du klammert das eine pi aus dann müsste es lauten

pi(r²+pi *r*14)=1400 /pi


ein pi kann doch nicht verschwinden

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Ich hab deine Frage schon richtig verstanden - und auch richtig beantwortet.

Das pi verschwindet ja nicht, sondern es wird als gemeinsamer Faktor aus den Summanden einer Summe herausgezogen. Die verbleibende Summe wird in Klammern gesetzt und der gemeinsame Faktor vor die Klammer geschrieben. Das nennt man Ausklammern.

Die Regel dazu lautet (Distributivgesetz):

( a * b + a * c )  = a * ( b + c )

Wenn man den Ausdruck

π ( r ² + r * 14 )

wieder ausmultipliziert, erhält man:

π r ² + π r * 14

also den ursprünglichen Ausdruck.