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Berechne den Grenzwert der Funktion gegen pi/2.

tan(x)/(x-π/2)^3, lim x->π/2


Lösungsansatz:

(1/cos(x))/3(x-pi/2)^2 = (1/2cos(x)*(-sin(x)))/6(x-pi/2) → Issue x/0

Nach der Regel von L'hospital darf ich ja den Zäher und Nenner getrennt ableiten, jedoch habe ich nach mehrmaligem Ableiten der Funktion immer noch den Fehler x/0.

Wie behebe ich das?

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Aloha :)$$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\tan(x)}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^3}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(x)}{\cos(x)\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^3}\;\to\;-\infty$$Der Zähler wird \(1\), der Nenner wird \(0\). Wenn man sich dem Wert \(\pi/2\) von links nähert, ist der Nenner \(<0\), wenn man sich von rechts nähert, ist der Nenner ebenfalls \(<0\). Daher kann man zumindest sagen, dass die Funktion bestimmt gegen \(-\infty\) divergiert.

Korrigiert nach einem Hinweis von georgborn. Danke nochmal :)

Avatar von 148 k 🚀

Halloa Tschaka,

Mein Plotter meint die Funktion sähe
so aus

Grenzwert links / rechts beide Male minus unendlich.

gm-188.JPG

Text erkannt:

\( z \)

Ja, tut sie auch... Ich Schussel habe übersehen, dass auch die \(\cos\)-Funktion ihr Vorzeichen wechselt... Es ist noch zu früh am Tag ;)

Ich korrigiere meine Antwort direkt.

Vielen lieben Dank für den Hinweis! ;)

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Der Zähler geht gegen ∞ und der Kehrwert des Nenners ebenfalls.

lim x->π/2 von tan(x)/(x-π/2)3 existiert nicht.

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tan(x)/(x-π/2)^3, lim x->π/2
-∞ / 0 = -∞

Avatar von 122 k 🚀

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