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Aufgabe

Sei F:V -> V linear mit

a) V = R2,             b) V = C2

und bzgl. der Standardbasis darstellenden Matrix A = \( \begin{pmatrix} cos α & -sin α \\ sin α & cos α \end{pmatrix} \) mit α∈]0,π[.

Zeigen Sie, dass F im Fall b) diagonalisierbar ist, im Fall a) jedoch nicht.


ich habe hier leider keine Idee, wie man hier vorangehen soll und wäre für Erklärungen dankbar.

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Hallo,

für eine Diagonalisierung brauchst Du Eigenwerte und Eigenvektoren. Berechne die doch mal für die Matrix A.

Gruß

1 Antwort

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Aloha :)

Die Nullstellen des charakteristischen (\chi(\lambda)\) Polynoms sind die Eigenwerte:$$0\stackrel{!}{=}\chi(\lambda)=\operatorname{det}\begin{pmatrix}\cos\alpha-\lambda & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha-\lambda\end{pmatrix}=(\cos\alpha-\lambda)^2+\sin^2\alpha$$$$(\cos\alpha-\lambda)^2=-\sin^2\alpha$$

In \(\mathbb{R}\) hat diese Gleichung für \(\alpha\in]0;\pi[\) keine Lösung, weil die linke Seite \(\ge0\) und die rechte Seite \(<0\) ist. Zur Diagonalisierung brauchen wir jedoch 2 unterschiedliche Eigenwerte.

In \(\mathbb{C}\) lässt sich die Gleichung lösen:$$(\cos\alpha-\lambda)^2=i^2\sin^2\alpha$$$$\cos\alpha-\lambda=\pm i\sin\alpha$$$$\lambda_{1;2}=\cos\alpha\mp i\sin\alpha$$Das sind 2 verschiedene Eigenwerte, sodass die Matrix diagonalisierbar ist.

Avatar von 148 k 🚀

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