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Aufgabe

Sei F:V -> V linear mit

a) V = R2,             b) V = C2

und bzgl. der Standardbasis darstellenden Matrix A = (cosαsinαsinαcosα) \begin{pmatrix} cos α & -sin α \\ sin α & cos α \end{pmatrix} mit α∈]0,π[.

Zeigen Sie, dass F im Fall b) diagonalisierbar ist, im Fall a) jedoch nicht.


ich habe hier leider keine Idee, wie man hier vorangehen soll und wäre für Erklärungen dankbar.

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Hallo,

für eine Diagonalisierung brauchst Du Eigenwerte und Eigenvektoren. Berechne die doch mal für die Matrix A.

Gruß

1 Antwort

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Aloha :)

Die Nullstellen des charakteristischen (\chi(\lambda)\) Polynoms sind die Eigenwerte:0=!χ(λ)=det(cosαλsinαsinαcosαλ)=(cosαλ)2+sin2α0\stackrel{!}{=}\chi(\lambda)=\operatorname{det}\begin{pmatrix}\cos\alpha-\lambda & -\sin\alpha\\\sin\alpha & \cos\alpha-\lambda\end{pmatrix}=(\cos\alpha-\lambda)^2+\sin^2\alpha(cosαλ)2=sin2α(\cos\alpha-\lambda)^2=-\sin^2\alpha

In R\mathbb{R} hat diese Gleichung für α]0;π[\alpha\in]0;\pi[ keine Lösung, weil die linke Seite 0\ge0 und die rechte Seite <0<0 ist. Zur Diagonalisierung brauchen wir jedoch 2 unterschiedliche Eigenwerte.

In C\mathbb{C} lässt sich die Gleichung lösen:(cosαλ)2=i2sin2α(\cos\alpha-\lambda)^2=i^2\sin^2\alphacosαλ=±isinα\cos\alpha-\lambda=\pm i\sin\alphaλ1;2=cosαisinα\lambda_{1;2}=\cos\alpha\mp i\sin\alphaDas sind 2 verschiedene Eigenwerte, sodass die Matrix diagonalisierbar ist.

Avatar von 153 k 🚀

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