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Aufgabe:

Ein Bild wird an eine Wand gehängt. Sein unterer Rand ist um die Länge b, sein oberer um a höher über dem Boden
als das Auge des Betrachters. In welcher Entfernung x von der Wand muss der Betrachter stehen, um das Bild unter
einem möglichst großen Winkel sehen zu können?

(a,b>0)

Problem/Ansatz:

Wir können den ganzen Sachverhalt ja einfach skizzieren und dann Winkelbeziehungen aufstellen.

Somit kommen wir darauf:

tan(alpha)=a/x und tan(Beta)=b/x. Somit haben wir die Winkel zwischen den Augen des Betrachters und den 2 Rändern des Bildes.

Jetzt möchte ich aber den Betrachtungswinkel  maximieren (nennen wir ihn einfach gamma), wofür wir folgende Gleichung aufstellen können:

atan(b/x)-atan(a/x)=y

Die letzte Gleichung muss ich doch nur als Funktion schreiben und das lokale Maxima über die Ableitungen herausfinden oder?

Wenn ja wären das die ersten beiden Ableitungen:

f1(x)=\( \frac{ -((b-a)*(x^2-a*b))}{((x^2+a^2)*(x^2+b^2))} \)

Mit den Nullstellen \( \sqrt{ab} \) und -\( \sqrt{ab} \)

f2(x)=\( \frac{(2*(b-a)*x*(x^4-2*a*b*x^2-a*b^3-a^2*b^2-a^3*b))}{((x^2+a^2)^2*(x^2+b^2)^2)} \)

Hoffentlich hab ich mich nicht verrechnet.

Wie mache ich jetzt weiter? Wenn ich die Nullstelle der ersten Ableitung einsetze, kam bei mir jedesmal nur Schrott raus. Vielleicht kann mir da jemand weiterhelfen

von

1 Antwort

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Die Funktion ist denke ich

f(x) = ATAN(a/x) - ATAN(b/x)

Die Ableitung

f'(x) = - a/(x^2 + a^2) - (- b/(x^2 + b^2)) = b/(x^2 + b^2) - a/(x^2 + a^2) = 0 → x = √(a·b)

Deine Rechnung ist völlig richtig. Die Negative Lösung macht eh keinen Sinn.

Bevor du jetzt an die zweite Ableitung geht überlege dir welchen Winkel du in diesen beiden Fällen hast

lim (x → 0) f(x)

lim (x --> ∞) f(x)

Dazwischen ist der Winkel sicher > 0 und muss daher wenn wir eine Nullstelle haben ein Maximum haben. In vielen Fällen braucht man gar keine weitere Ableitung untersuchen wenn man etwas überlegt.

von 342 k 🚀
Die Funktion ist denke ich 
f(x) = ATAN(a/x) - ATAN(b/x)

sicher dass es nicht anders herum ist? (ich weiß leider nicht wie ich ein Bild einfüge, sonst würde ich eine Skizze anhängen)


Bevor du jetzt an die zweite Ableitung geht überlege dir welchen Winkel du in diesen beiden Fällen hast

Wie genau meinst du das? Also ich suche ja letztlich immer noch die Länge der Strecke x und weiß nicht wie ich auf diese jetzt komme.

Die Ableitung wird Null für x = √(a·b)

Das ist dein mögliches Extremum oder nicht ?

Du musst nur noch begründen ob es Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist.

Meine Skizze

download.jpg

Ich hab beim Abschreiben des Textes einfach a und b vertauscht. Demnach sollte ursprünglich a der untere Rand und b der obere sein. Deswegen auch die Unterschiede zwischen unseren Formeln.


Wie genau begründet man denn ohne die 2. Ableitung um welche Art von Extrema es sich handelt?

Wenn ich dann raus habe dass es sich um ein Maximum handelt, muss ich doch nur \( \sqrt{ab} \) in die Gleichung für Gamma einsetzen und dann nach x umstellen oder?

Wie genau begründet man denn ohne die 2. Ableitung um welche Art von Extrema es sich handelt?

Indem du dir die Winkel an den Grenzen des Definitionsbereiches von x überlegst.

Wie groß ist der Winkel wenn x nahe bei 0 ist und wie groß ist der Winkel wenn x unendlich groß wird.

Die Grenzwerte von f(x)=atan(b/x)-atan(a/x) bei x gegen unendlich und x gegen 0 nähern sich beide an die 0 an.

Was genau sagt das jetzt aus

Das wenn du dazwischen sicherlich winkel über 0 haben musst, es sich nur im ein Maximum handeln kann.

Achso dankeschön - es macht auf jeden Fall jetzt Sinn für mich.

Wie genau komme ich jetzt auf x? Indem ich Wurzel ab anstelle von Gamma in die Funktion einsetze?

Du hast doch das x schon.

x = √(a·b)

Denk nicht zu kompliziert.

Achso damit hab ich das x schon.

Auf jeden Fall danke für deine Hilfe und dir noch einen schönen Abend

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