\( \begin{aligned} \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n^{n}}}{n^{n}} &=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x^{n}}{n}\right)^{n} \\ &=\frac{1}{1-\left(\frac{x^{n}}{n}\right)} \end{aligned} \)
Ich komme ab hier nicht weiter. Ich weiß, dass das die geometrische Reihe ist, habe es auch versucht anzuwenden.
Das ist keine geometrische Reihe; denn das q hängt ja von n ab.
Ohh.. aber die allg geometrische Reihe lautet doch so : \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{q^n} \) = \( \frac{1}{1-q} \) . In dem Fall ist ja eig mein q=\( \frac{x^n}{n} \).
Das verstehe ich jetzt nicht so ganz leider :(
q ist eine reelle Zahl |q|<1.
Hallo,
das kann man so nicht rechnen.
x^{n^n} ist nicht gleich (x^n)^nDesweiteren kannst du nicht einfach die Formel für die geometrische Reihe nehmen, weil x^n/n keine konstante Zahl ist.
Das ist eine Potenzreihe, deren Potenzradius bestimmt man mit der Formel von Cauchy-Hadamard.
stimmt da hab ich mich wirklich vertan, danke dir !
ja mit dem Wurzelkriterium versuche ich gerade, muss ich aber dafür nicht x^n nicht ausklammern ?
Die Potenzreihe wäre erstmal in die Form
∑ a_{k} x^k
zu überführen.
Denn aufgrund des Terms x^{n^n}
treten einige Potenzen gar nicht auf.
Summe = x^1/1 + x^4/4 +x^27 /27+...
usw.
Dann wäre
a_k = { 1/k , ∃n ∈ℕ: k=n^n
0 sonst
Darauf kannst du nun Cauchy-Hadamard anwenden.
Dann hätte ich r=\( \frac{1}{lim sup \sqrt[k]{\frac{x^k}{k}}} \)= ....= \( \frac{1}{lim sup \frac{x}{1}} \) konvergiert dass dann gegen 0?
oder müsste ich bei \( \frac{1}{k} \) das Wurzelkriterium anwenden, ich verstehe das glaub ich nicht so ganz tut mir leid :/
Oder ich glaube ich weiß jetzt wo mein Fehler liegt, wenn ich das diesmal richtig gemacht habe ist r=1 ?
Bei Cauchy-Hadamard geht bloß a_k ein:
$$r= \frac{1}{lim sup \sqrt[k]{|a_k|}}$$
Aufgrund des limes sup interessiert hier nur der Part a_k =1/k
also
$$r= \frac{1}{lim \sqrt[k]{1/k}}=1/1=1$$
Ein anderes Problem?
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