Bestimmen Sie (α1−α2)2 (wenn möglich ohne die αi s auszurechnen )

Question

Es sei \( m \geq 10 \) eine naturliche Zahl, und es seien \( \alpha_{1}, \alpha_{2} \) die (verschiedenen) reellen Nullstellen des Polynoms
$$ (2 m-1) X^{2}+(17 m-1) X-5 \sqrt{2} $$
Bestimmen Sie \( \left.\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right)^{2} \text { (wenn möglich ohne die } \alpha_{i} \text { 's auszurechnen }\right) \)

Comments

Da meine Antwort falsch war, wandle ich sie in einen Kommentar um.

Bitte löschen.

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\((\alpha_1-\alpha_2)^2=p^2\) 

das stimmt nicht; es ist \((\alpha_1 \colorbox{#ffff00} + \alpha_2)^2 = p^2\); siehe Satz von Vieta.

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@Werner

Ups, mein Fehler. Dabei wäre es so schön gewesen.    :-)

Answer 1

Hallo,

Bei einer quadratischen Gleichung der Form \(ax^2+bx+c=0\) wären die beiden Lösungen: $$\alpha_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\ \implies \alpha_1 - \alpha_2 = \frac 1a \sqrt{b^2-4ac}$$ Also ist hier in diesem Fall$$(\alpha_1 - \alpha_2)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{(17m-1)^2 - 20(2m-1)\sqrt 2}{(2m-1)^2}$$

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Dackeschön !