Geraden g und h orthogonal zueinander

Question

Aufgabe: Prüfen sie, ob die Geraden g und h orthogonal zueinander sind und ob sie sich schneiden.

g: x= (3/0/1) + r* (4/2/-1)         h: x= (3/1/4) + s* (5/-7/5)

Problem/Ansatz: Ich bräuchte hierbei bitte Hilfe, da ich nicht weiß, wie man sowas mit Vektoren berechnet.

Answer 1

Hallo Svenja,

wenn die Geraden $g$ und $h$ orthogonal zu einander verlaufen, dann muss das Skalarprodukt ihrer Richtungsvektoren $=0$ ergeben.$$\begin{pmatrix}4\\ 2\\ -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5\\ -7\\ 5\end{pmatrix} = 20 - 14 - 5 = 1 \ne 0$$sie sind also nicht senkrecht zu einander.

Wenn $g$ und $h$ sich schneiden, so muss folgende Gleichung$$\begin{aligned} g(r) &= h(s) \\ \begin{pmatrix}3\\ 0\\ 1\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}4\\ 2\\ -1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}3\\ 1\\ 4\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}5\\ -7\\ 5\end{pmatrix}, \quad r,s \in \mathbb{R}\end{aligned}$$eine Lösung haben. Dazu berechnet man $r$ und $s$ aus zwei der drei Koordinatengleichungen$$\begin{aligned}3 + 4r &= 3 + 5s \\ 2r &= 1 - 7s \\ \implies r &= \frac 5{38}, \quad s = \frac 4{38}\end{aligned}$$Setzt Du diese Lösung in die dritte Koordinatengleichung ein$$1 - \frac 5{38} \ne 4 + 5 \cdot \frac 4{38}$$so geht dies nicht auf. Die Geraden schneiden sich also nicht. wie auch hier zu sehen ist:

(klick auf das Bild)

Comments

Wie man aus diesem Bild ablesen können soll, dass sich die Geraden nicht schneiden, ist mir nicht klar. Im Bild fehlt ja die Tiefendimension.

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Im Bild fehlt ja die Tiefendimension.

deshalb steht auch darunter: 'klick auf das Bild!' ;-)

dann öffnet sich die Szene im Geoknecht3d und wenn man die Szene dann etwas mit der Maus rotiert, bekommt man auch die Tiefendimension bzw. -information.

Answer 2

ob sie sich schneiden

Gleichsetzen.

ob die Geraden g und h orthogonal zueinander sind

Das sind sie, wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren Null ergibt.

Answer 3

Prüfung auf Othogonalität:

Skalarprodukt ≠0, also nicht orthogonal.

Prüfung auf gem. Punkt:

Gleichsetzen. Koordinatengleichungen daraus machen

(1) 3+4r=3+5s

(2) 0+2r=1+7s

(3) 1 - r =4+5s

Lösungen aus (1) und (2) in (3) einsetzen. (3) ist nicht erfüllt, also kein gemeinsamer Punkt.