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Für \( s \in[0,2], r \in[0,1], \varphi \in[0,2 \pi] \) sei ein Körper K  durch diese Parametrisierung gegeben:

\( \Phi(s, r, \varphi)=\left(\begin{array}{c}s r \cos \varphi \\ s r \sin \varphi \\ s^{2}\end{array}\right) \)

Außerdem sei für  a ∈ ℝ ein Vektorfeld gegeben durch:

\( w(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 y \\ 3 x^{2} z\end{array}\right) \)
a) Berechnen Sie den Fluss des Vektorfelds \( w \) durch die Oberfläche des Körpers \( K \) direkt,
d. \( h \). durch Oberflächenintegrale.
b) Lösen Sie die Aufgabe über ein Volumenintegral mit dem Satz von Gauß.


Meine Lösungen:

Parametrisierung für Boden mit \( s \in[0,2], \varphi \in[0,2 \pi] \)
$$ \begin{array}{c} \Phi(s, \varphi)=\left(\begin{array}{c} s \cos \varphi \\ s \sin \varphi \\ s^{2} \end{array}\right) \Rightarrow w(\Phi(s, \varphi))=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 s \sin \varphi \\ 3 s^{4} \cos ^{2} \varphi \end{array}\right) \\ n(s, \varphi)=\Phi_{\varphi}(s, \varphi) \times \Phi_{s}(s, \varphi)=\left(\begin{array}{c} -s \sin \varphi \\ s \cos \varphi \\ 0 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c} \cos \varphi \\ \sin \varphi \\ 2 s \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2 s^{2} \cos \varphi \\ 2 s^{2} \sin \varphi \\ -s \end{array}\right) \end{array} $$


Wie komme ich oben auf Φ(s,φ) =(   )

Was wurde da gemacht, welche Rechenoperation?


Gruß

von

1 Antwort

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Hallo

 der Boden, oder besser Deckel ist in der Höhe h=z=4 und hat den äußeren Radius   s=2 warum als z Koordinate s^2 und nicht 4 da steht ist unklar.

denn auch die Normale auf die Fläche , eine Ebene parallel zur Ebene z=0 ist ja einfach  n=(0,0,1) und nicht von phi abhängig.

woher hast du diese eigenartige Lösung?

Gruß lul

von 41 k

Hallo lul,

das wurde uns als Lösungsvorschlag gegeben... Der Deckel ist ja in der Höhe 4 aber doch der Boden nicht

Wie kommt man allgemein auf   Φ(s,φ) =(  ) ?

Muss man ableiten oder was anderes rechnen? Wie geht man vor?


Gruß

Hallo

 wenn du mit "Boden" alles was nicht Deckel ist meinst, ist das doch einfach das hohle Paraboloid. also r=1 des gefüllten Paraboloids. dann ist auch die Normale richtig.

du kannst es auch herleiten, in jeder Höhe hast du einen Kreis, mir Radius s, der von der Höhe abhängt und dann ist s=√h oder h=z=s^2

 Gruß lul

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