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Beschreiben und beurteilen Sie die gezeigte Beweisführung eines Schülers zur folgenden Aussage: , per Mittelpunktswinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel".

blob.png

Kann mir jemand erklären, wo die Fehlerquellen liegen?

von

2 Antworten

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Hallo

an dem Beweis ist so nichts falsch, aber wenn man noch nicht hat, dass alle Winkel über einer Sehne gleich groß sind, gilt der Beweis nur für die Spezielle Lage des Dreiecks.(also gleichschenkliges Sehnendreieck)

Gruß lul

von 93 k 🚀
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Die Skizze zeigt einen Spezialfall. So wäre sie allgemeiner:

blob.png

Dazu der Beweis von Mathecoach (Kommentar unten).

von 113 k 🚀

α + β + γ = 360°

β + 2·ε = 180° --> β = 180° - 2·ε

γ + 2·δ = 180° --> γ = 180° - 2·δ

II und III in I einsetzen

α + 180° - 2·ε + 180° - 2·δ = 360°

α - 2·ε - 2·δ = 0

α = 2·ε + 2·δ

α = 2·(ε + δ)

In der Elementargeometrie dieses Niveaus sind negative Winkel nicht üblich.

Natürlich wäre es schöner, einen elementargeometrischen Beweis zu haben, der mit weniger Algebra auskommt, so wie dieser:

blob.png

aber der wesentliche Fehler besteht - wie schon erwähnt - darin, dass nur der Spezialfall bewiesen wurde, bei dem der Punkt \(C\) auf der Mittelsenkrechten von \(AB\) liegt.

man könnte vielleicht noch bemängeln, dass zu wenig die Vorausetzungen beschrieben wurden. Zum Beispiel: $$|MA| = |MC| \implies \triangle AMC \text{ gleichschenklig} \\ \implies \angle MAC = \angle ACM$$usw.

So ist es besser.

Was ich meinte ist, dass MCs Rechnung isofern immer noch zu speziell ist als in dieser Lage der Punkte

Winkel.png

andere Winkel oder negative Winkelgrößen erforderlich sind.

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