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Folgendes Spiel wird gespielt:

Es werden 5 Karten verdeckt in einer Reihe ausgelegt. Darauf sind die Nummern 1, 2, 3, 4 und 5 abgebildet.

Es soll zufällig getippt werden, welche Zahl sich unter welcher Karte verbirgt.


Folgende Frage: Wie wahrscheinlich ist es, die Nummer unter der zweiten Karte richtig zu erraten, wenn man bereits weiß, dass:


A: Die Zahl der ersten Karte richtig getippt wurde.

Nicht A: Die Zahl der ersten Karte falsch getippt wurde.


Es sind ja beides bedingte Wahrscheinlichkeiten.


Sei also B: Die Zahl der zweiten Karte wird richtig erraten und Nicht B: Die Zahl der Zweiten Karte wird falsch geraten.


P_A (B) = 1/4

P_Nicht A (B) = ?? Ist die Antwort darauf 1/5 !?


von

Idee ist:


P_Nicht A (B) = \( \frac{P(Nicht A∩B}{P(A)} \) =\( \frac{4/5 * 1/5}{4/5} \) = 1/5

Ich denke, dass man noch wissen sollte, ob das Ergebnis bei der ersten Karte tatsächlich schon bekannt ist. Ferner: muss man beim "Raten" tatsächlich alle 5 Zahlen den Karten zuordnen, d.h. muss man auf genau eine der 120 möglichen Permutationen tippen, oder wäre z.B. auch ein Versuch mit der Zahlenreihenfolge  <2,3,3,1,2>  zugelassen ?

2 Antworten

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Es gilt

        \(P_{\overline{A}}(B)=\frac{\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5}}{\frac{4}{5}}\),

wenn \(A\) und \(\overline{B}\) stochastisch unabhängig sind.

Wenn \(A\) und \(\overline{B}\) stochastisch unabhängig sind, dann sind auch \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig und somit wäre dann

        \(P_{A}(B)=\frac{\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}}{\frac{1}{5}} = \frac{1}{5}\).

Mindestens eines deiner Ergebnisse muss also falsch sein.

Es werden 5 Karten verdeckt in einer Reihe ausgelegt.

Sei O.B.d.A. (1, 2, 3, 4, 5) die ausgelegte Reihenfolge.

Zu PA(B)

Es gibt 5! = 120 Permutationen der Menge {1, 2, 3, 4, 5}. Das ist die Anzahl der möglichen Tips.

Es gibt 3! = 6 Permutation der Menge {3, 4, 5}. Das ist die Anzahl der Tips, bei denen die erste und die zweite Karte richtig getippt wurden.

Also ist

        \(P(A\cap B) = \frac{3!}{5!} = \frac{6}{120} = \frac{1}{20}\).

Es gibt 4! = 24 Permutationen der Menge {2, 3, 4, 5}. Das ist die Anzahl der Tips, bei denen die erste Karte richtig getippt wurde.

Also ist

        \(P(A) = \frac{24}{120}=\frac{1}{5}\)

Somit ist

        \(P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{5}}=\frac{1}{4}\).

Zu P¬A(B)

Es gibt 5! - 4! Permutationen, bei denen die erste Zahl falsch getippt wurde.

Also ist

        \(P(\overline{A}) = \frac{5! - 4!}{5!} = \frac{96}{120} = \frac{4}{5}\).

Es gibt 4! Permutationen, bei denen bei denen die zweite Karte richtig getippt wurde.

Es gibt 3! Permutationen, bei denen die ersten beiden Karten richtig getippt wurden.

Also gibt es 4! - 3! Permutationen, bei denen die zweite Karte richtig und die erste Karte falsch getippt wurde.

Somit ist

        \(P(A\cap\overline{B}) = \frac{4!-3!}{5!} = \frac{3}{20}\)

und

        \(P_{ \overline{A}(B) } = \frac{P(A\cap\overline{B})}{P(\overline{A})}=\frac{\frac{3}{20}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{16}\).

N.B. \(\frac{3}{16} < \frac{1}{5}\)

von 94 k 🚀
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Meine Meinung

Ich nehme an die erste Karte wird nicht wieder zurückgelegt

Falls die erste Karte richtig getippt wurde wird der Spieler
diese beim 2.Mal nicht mehr tippen und seine Wahl hat die
Wahrscheinlichkeit 1/4

Falls der Spieler beim ersten Mal falsch getippt hat fällt die
getippte Karte als Antwortmöglichkeit ebenfalls heraus.
Die Wahrscheinlichkeit ist dann ebenfalls 1/4

von 122 k 🚀
Falls die erste Karte richtig getippt wurde wird der Spieler
diese beim 2.Mal nicht mehr tippen und seine Wahl hat die
Wahrscheinlichkeit 1/4

Da bin ich bei dir.


Falls der Spieler beim ersten Mal falsch getippt hat fällt die
getippte Karte als Antwortmöglichkeit ebenfalls heraus.
Die Wahrscheinlichkeit ist dann ebenfalls 1/4

Problem: Was, wenn der erste 'Tipp der richtige für die zweite Karte war? Dann wäre die Wkeit ja 0%...

Hallo Kombinatorix,

deine Deutung des 2.Sachverhalts habe ich nicht verstanden.

Beispiel
Reihenfolge Karten
1,2,3,4,5
1.Tip : 3 : falsch
Übrig im Stapel bleiben
2.3.4.5
Der Spieler wird die gezogene 1 nicht
mehr zum Tippen verwenden sondern
2 oder 3 oder 4 oder 5
Wahrscheinlichkeit für einen Treffer 1/4

mfg Georg

Das Spiel war eher so gedacht. Es gibt einen Spielleiter, der weiß, welche Nummer unter welcher Karte ist.


Beispiel
Reihenfolge Karten
1,2,3,4,5


Erster Tipp: 3 → falsch: Jetzt sagt der Spielleiter nur: Tipp war falsch.

Der erste Tipp könnte aber auch 2 gewesen sein: Spielleiter sagt falsch.


Jetzt wäre aber die Wkeit für den richtigen Tipp bei der zweiten Karte gleich 0, da die 2 schon raus wäre...

Die ganze Angelegenheit ist mal wieder
sprachlicher Natur.

Mögliche wäre auch
- die getippte Karte verbleibt im Spiel
oder
- die getippte Karte wird entnommen.

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