Welche Breite und Höhe (in Abhängigkeit vom Radius des Stammes) muss dieser Balken haben?

Question

Aufgabe:

Hallo, folgende Aufgabe ist mein Problem:

Die Bruchfestigkeit eines rechteckigen Balkens der Breite \(b\) und der Höhe \(h\) ist \(= k \cdot b \cdot h^2\),
wobei \(k\) eine gegebene Konstante ist.
Ein solcher Balken soll aus einem zylindrischen Baumstamm mit gegebenem Radius
durch Sägen parallel zur Längsachse herausgeschnitten werden. Welche Breite und Höhe
(in Abhängigkeit vom Radius  des Stammes) muss dieser Balken haben, damit seine
Bruchfestigkeit maximal wird?

Problem/Ansatz:

Einen Ansatz habe ich leider nicht

Answer 1

Hier die Skizze

pythagoras
nebenbedingung
r^2 = h^2 + b^2
h^2 = r^2 - b^2

W = Widerstandsmoment = Bruchfestigkeit
W = k * b * h^2
W = k * b * ( r^2 - b^2 )
W = k * ( b*r^2 - b^3 )
W ´ ( b ) = k * ( r^2 - 3 * b^2 )
Stelle mit waagerechter Tangente
k * ( r^2 - 3 * b^2 ) = 0
satz vom Nullprodukt anwenden
k = =
und
r^2 - 3 * b^2 = 0
3 * b^2 = r^2
b^2 = r^2 / 3
b = + √ ( r^2 / 3 )
Einsetzen
r^2 = h^2 + b^2
r^2 = h^2 + r^2 / 3
h^2 = r^2 - r^2 / 3 = 2/3 * r^2
h = + √ ( 2/3 * r^2 )

mfg georg

Comments

Anstelle r muß es überall d ( Durchmesser ) heißen.

Korrektur : Nicht
b = + √ ( r^2 / 3 )
h = + √ ( 2/3 * r^2 )
sondern
b = + √ ( d^2 / 3 )
h = + √ ( 2/3 * d^2 )

Mit radius
b = + √ ( (2*r)^2 / 3 )
h = + √ ( 2/3 * (2*r)^2 )

Answer 2

h=Höhe des Balkens, b=Breite des Balkens, Bruchfestigkeit des Balkens B(α).
sin(α)=h/(2r);  cos(α)=b/(2r). Dann ist (1) h=2r·sin(α) und (2) b=2r·cos(α).
B(α) = k·b·h²=k·2r·cos(α)·(2r·sin(α))²=k·8r³·cos(α)·sin²(α).
Setze die Konstante k·8r³ = c. Dann gilt B(α)=c·cos(α)·sin²(α). Nullstelle der 1. Ableitung in (1) und (2) einsetzen.