Komplexe geometrische Reihe berechnen

Question

Aufgabe:

$\sum\limits_{k=5}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}}$=

Problem/Ansatz:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%285%2F%28-1%2B2i%29%29%5E…

Dort findet man die Lösung, aber nicht den Weg.

ich komme bis:

Formel: $\sum\limits_{k=0}^{n}{q^{k}}$=$\frac{(q^{n+1})-1}{q-1}$

$\sum\limits_{k=5}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}}$=$\sum\limits_{k=0}^{10}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}}$ - $\sum\limits_{k=0}^{4}{(\frac{5}{-1+2i})^{k}}$=$\frac{\frac{5}{-1+2i}^{11}-1}{\frac{5}{-1+2i}-1}$ - $\frac{\frac{5}{-1+2i}^{5}-1}{\frac{5}{-1+2i}-1}$ und hier weiß ich nicht wie ich vereinfachen kann/vorgehe

2.Frage: stimmt die formel $\sum\limits_{k=0}^{n}{q^{k}}$=$\frac{(q^{n+1})-1}{q-1}$   für die aufgabe? oder gibt es eine einfachere Formel?

Ich habe bereits nach so einer frage gesucht aber entweder nichts ähnliches gefunden oder ich hab die rechenschritte nicht nachvollziehen können. wäre schön wenn es jemand gibt der den Rechenweg step für step aufschreiben könnte. Vielen Dank schonmal im Voraus

Answer 1

Neben dem Tipp von Spacko ist vielleicht auch eine vorherige

Umformung der Formel sinnvoll:

$$\frac{q^{11}-1}{q-1}-\frac{q^{5}-1}{q-1} =\frac{q^{11}-q^5}{q-1} =q^5*\frac{q^{6}-1}{q-1}$$$$=q^5*(q^5+q^4+q^3+q^2+1)$$

Mit q=-1-2i gibt es

q² = -3+4i

q³=11+2i

q⁴ = (q²)² = -7-24i

und das mal q gibt  q⁵ = -41+38i

In der Klammer also -40+18i

und das q⁵ gibt 956-2258*i

Comments

Vielen Dank für eure Antworten.

wie kann man $\frac{5}{−1+2i}$ durch −1−2i ersetzen?

warum darf man das mathematisch?

---

Erweitere mit -1-2i

Answer 2

Möglicherweise wird's etwas einfacher, wenn $\dfrac5{-1+2\mathrm i}$  durch $-1-2\mathrm i$  ersetzt wird.

Answer 3

Vielleicht hilft auch noch $-1 - 2i = -\sqrt{5} \cdot e^{ i \arctan(2) }$

Answer 4

Nenner kann man reell machen.
Vorgerechnete Beispiele unter f) Division.

http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-Berlin/index.php/3.1…

Nenner kann man reell machen.

Vorgerechnete Beispiele unter f) Division.