es geht um vektoren!

Question

Aufgabe: Für die Herstellung von einem Nusskuchen und einer Sachertorte benötigt man jeweils eine bestimmte Menge an Mehl und Zucker. Die werden durch die Vektoren n=(n1,n2) und s=(s1,s2) festgelegt. Dabei gibt bespielweise n1 an , wie viel Gram Mehl für einen Nusskuchen benötigt werden und s2, wie viel Gramm Zucker für eine Sachertorte. Die Komponenten des Vektors k=(k1,k2) geben an, wie viel Euro jeweils 100g Mehl bzw. Zucker kosten.

Problem/Ansatz: Beschreibe die Kosten für zwei Nusskuchen und eine Sachertorte durch einen Ausdruck , in dem die Vektoren n,s und k verwenden werden.

Kann mir das wer helfen und erklären wie das geht?

Answer 1

Kosten = 0.01·k·(2·n + 1·s)

Wobei hier das k mit der Klammer als Skalarprodukt zweier Vektoren multipliziert wird.

Answer 2

Hallo,

wenn \(n_1\) die Menge Mehl in Gramm ist, die für einen Nusskuchen benötigt wird und \(k_1\) der Wert in Euro was 100Gramm Mehl kosten, so kostet das Mehl für eine Nusskuchen \(n_1 \cdot k_1 / 100\) und der Zucker für den gleichen Nusskuchen \(n_2 \cdot k_2 / 100\).

Die Gesamtkosten \(g_n\) für einen Nusskuchen sind also$$g_n = \frac {n_1 \cdot k_1 + n_2 \cdot k_2}{100}$$und dieser Ausdruck im Zähler des Bruchs ist nichts anderes als das Skalarprodukt der Vektoren \(n\) und \(k\). Man kann also auch schreiben:$$g_n = \frac {n_1 \cdot k_1 + n_2 \cdot k_2}{100} = \frac 1{100} n \cdot k$$ oder \(\left< n,k\right>/100\) je nachdem welche Schreibweise für das Skalarprodukt bei Dir üblich ist.

Das gilt selbstverständlich in gleicher Weise für die Kosten \(g_s\) von Mehl und Zucker einer Sachertorte$$g_s = \frac 1{100} s \cdot k$$und zwei Kuchen und eine Torte kosten dann:$$g = 2g_n + g_s = \frac 1{100} \left( 2n\cdot k + s \cdot k\right) = \frac 1{100} (2n+s) k$$

Answer 3

\( \begin{pmatrix} n1& n2 \\ s1 & s2 \\ 2n1 + s1&2n2 + s2\end{pmatrix} \) *

\( \begin{pmatrix} k1/100 \\ k2/100 \end{pmatrix} \) =

\( \begin{pmatrix} P(Nuss) \\ P(Sacher) \\ Gesamt\end{pmatrix} \)

Oder

1/ 100 \( \begin{pmatrix} n(Nuss)& n(Sacher)  \end{pmatrix} \) *

\( \begin{pmatrix} n1& n2 \\ s1 & s2 \end{pmatrix} \) *

\( \begin{pmatrix} k1\\ k2\end{pmatrix} \) = Gesamtpreis

Hier

1/ 100 \( \begin{pmatrix} 2& 1  \end{pmatrix} \) *

\( \begin{pmatrix} n1& n2 \\ s1 & s2 \end{pmatrix} \) *

\( \begin{pmatrix} k1\\ k2\end{pmatrix} \) = Gesamtpreis

Comments

Anmerkung: Beschreibe die Kosten für zwei Nusskuchen und eine Sachertorte durch einen Ausdruck, in dem die Vektoren n, s und k verwenden werden.

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In der Matrix stehen 3 Zeilenvektoren und die zweite Matrix ist 1/100 des Kostenvektors als Spalte, ich finde diese Lösung aber auch nicht schön, deshalb werde ich noch einen Vektor einführen, der die Anzahl der jeweiligen Torten angibt.