Affine Abbildungen - Kompositum von Geradenspiegelungen

Question

Ich habe alles soweit verstanden , aber ich bin mir bei der b und c nicht so sicher. Das mit dem Drehwinkel bei der c habe ich mit 90 Grad. Könnte mir da wer helfen bei der b und c mit dem Finden der Geraden und warum genau diese geraden dafür geeignet sind ?

 2: (8 Punkte) Sei \( d>0 \) fest vorgegeben sowie \( A=(d, 0), B=(2 d, 0) \) mit zugehorigen Ortsvektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) Weiterhin seien die Geraden \( g_{1} \) und \( g_{2} \) definiert mit
$$ \begin{array}{l} g_1:=\left\{\left(\begin{array}{l} 4 d \\ 0 \end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{l} 0 \\ 4 d \end{array}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\} \\ g_{2}:\left[\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c} 6 d \\ 0 \end{array}\right) \mid \lambda \in \mathbb{R}\right\} \end{array} $$
Seien \( S_{A} \) und \( S_{B} \) die Punktspiegelungen an \( A \) baw. \( B \) sowie \( \Psi:=S_{B} \circ S_{A} \) deren Kompositum.
a) Begrunden Sie, warum es sich bei \( \Psi \) um eine Verschicbung handelt. Geben Sie diese Verschiebung an und stellen Sie \( \Phi \) als affine Abbildung dar.
b) Stellen Sie \( S_{g_{1}} \circ \Psi \) als Kompositum von höchstens 2 Geradenspiegelungen dar und geben Sie die Gerade(n) in Punktrichtungsform an.
c) Gegeben sei die affine Abbildung \( \varphi_{A, 0} \) mit der Matrix \( A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right) . \) Begründen Sie, dass es sich bei \( \varphi_{A, 0} \) um eine Drehung um den Ursprung handelt. Bestimmen Sie das Maß des Drehwinkels sowie eine Gerade \( h_{1} \) in Punktrichtungsform mit \( \Psi=S_{h_{1}} \circ S_{g2} \)

Comments

Bitte überprüfe die Fragestellung auf Richtigkeit. Ich denke, dass die Auto-Latex-Funktion Fehler enthält.

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Geändert :)

Liebe Grüße

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Warum wird in b) schon von \(\Psi\) gesprochen?

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Geändert, hab's übersehen

Answer 1

a) Das ist ja eine Verschiebung um 2d parallel zur x-Achse.

b) Dann ist Sg₁∘Ψ diese Verschiebung gefolgt von der Spiegelung an g₁.

Die Verschiebung kann durch Hintereinanderausführung zweier Spiegelungen

an zur Verschiebungsrichtung orthogonalen Geraden im Abstand d

ersetzt werden.

Da könnte man die Parallele h zu g1 im Abstand d, also die durch (3d;0) nehmen

und dann g1 selbst. Dann ergibt die Komposition Sg1∘Ψ einfach nur die Spiegelung

an h, und h hat die Gleichung

$$\vec{x}=\begin{pmatrix} 3d\\0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 0\\d \end{pmatrix}$$

c) Zur Begründung brauchst du nur die kanonischen Basisvektoren

$$\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} und\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} abzubilden.$$

Beide werden um 90° um den Ursprung gedreht, also ist das diese Abbildung.

Die kann man ersetzen durch zwei Spiegelungen an Ursprungsgeraden, die den

halben Winkel einschließen.

Da g2 die y-Achse ist, muss h1 die Winkelhalbierende des ersten Quadranten sein:

$$h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank .:))

Die mit (3d | 0) habe ich auch gehabt.

Hab's verstanden !

Lg lo