Bestimmen Sie für die Funktion f die rechte Intervallgrenze b so, dass die Fläche zwischen der x Achse und dem …

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie für die Funktion f die rechte Intervallgrenze b so, dass die Fläche zwischen der x Achse und dem Graphen der Funktion den angegebenen Flächeninhalt hat.

f(x)=x²+4x, I=[0,b], A=405

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Lösung der Aufgabe an einem bestimmten Punkt nicht mehr weiter. Kann sie mir jemand vorrechnen?

Answer 1

Hallo,

es gilt:$$\int_{0}^{b}x^2+4x \, dx=\left[\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_0^b=\frac{1}{3}b^3+2b^2\overset{!}=405$$ Dies ist eine kubische Gleichung, die du algebraisch z. B. mit Hilfe von Cardano lösen kannst oder durch Einsatz eines Computeralgebrasystems. Ich erhalte $b=9$. Sollte das eine Abitur-Aufgabe sein, so wird man vermutlich den Taschenrechner einsetzen müssen oder aber man rät. Für Gleichungen der Bauart $x^3+px+q=0$ gäbe es aber eine schöne Substitution.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Da war ich also doch nicht ganz falsch unterwegs.

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... gerne, VG.

Answer 2

Aloha :)

$$405=A=\int\limits_0^b(x^2+4x)dx=\left[\frac{x^3}{3}+2x^2\right]_0^b=\frac{b^3}{3}+2b^2$$Diese Gleichung mit $3$ multipliziert liefert:$$b^3+6b^2-1215=0$$Die ganzzahligen Lösungen dieser Gleichung müssen Teiler von $1215$ sein:$$1215=3^5\cdot5$$Wir finden, dass $b=3^2=9$ eine Lösung ist.

Comments

Sehr schön, der Satz über die rationale Nullstelle kann natürlich die Kardinalität der Menge möglicher Nullstellen minimieren.

Allerdings müsste man schon mit $\{1,3,5,9,15,27,45,81,135,243,405,1215\}$ etwas rumtesten, um auf das richtige Ergebnis zu kommen.

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Mit dem Rumtesten war gar nicht so fummelig. Die dritte Wurzel aus $1215$ ist etwas größer als $10$, denn $10^3=1000$. Daher war $b=9$ mein erster Versuch ;)

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Würde ich jetzt auch sagen :P Hört sich nach backwards engineering an :^)

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Als Physiker lernt man sehr schnell, in Größenordnungen zu denken. Das macht doch auch jeder normale Mensch. Oder hättest du ernsthaft mit $b=1$ oder $b=1215$ angefangen?