Wie viele verschiedene Geldbeträge kann Ella damit passend bezahlen?

Question

Aufgabe:

Ella hat in ihrem Geldbeutel insgesamt x Ein-Euro-Münzen und y Zehn-Cent-Stücke.
Wie viele verschiedene Geldbeträge kann Ella damit passend bezahlen?
Führen Sie zur vollständigen Beantwortung dieser Frage eine Fallunterscheidung durch
und finden Sie für jeden Fall eine Formel, welche die gesuchte Anzahl in Abhängigkeit
von x und y angibt.

Problem/Ansatz:

Im ersten Teil, ist klar, dass sie alle Beträge die auf volle Euro, bzw. auf Null enden passend bezahlen kann. Da man nicht wieß wieviel Münzen es sind, kann man zum maximalen Betrag nichts sagen.

Im 2. Teil ist mir total unklar, wie ich überhaupt eine Fallunterscheidung im Ansatz machen kann, bzw. was für eine Formel. Ich stehe hier total auf dem Schlauch. Könnte mir jemand helfen. Danke

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wenn die matheolympiade wieder komplett reinkickt

Answer 1

Schnapp dir mal zwei 1-Euro Münzen und vier 10-Cent Münzen und schreibe die Geldbeträge auf die du damit bezahlen kannst. Finde dann eine Formel dafür.

Du sollst auch nicht angeben welchen Betrag sie Maximal bezahlen kann sondern nur wie viele Unterschiedliche Geldbeträge das sind.

Mit Fallunterscheidung habe ich heraus:

Für y ≤ 9: y + (y + 1)·x
Für y > 9: y + 10·x

Oder als eine Formel zusammengefasst:

y + MIN(y + 1, 10)·x

Ich zähle hier einen Betrag von 0 € nicht dazu.

Comments

Hallo,

Ich habe bei y=10  und x=2 die Formel (x+1)*y +1 

angewendet, um auf 31 zu kommen (da 0.0 € auch mitgezählt wird).

Für y>10 muss aber eine andere gelten.

Es kommt ja bei jeder neuen 10ct Münze genau ein neuer Betrag hinzu, zb sind es bei x=2 und y=12 32 Beträge, entsprechend bei x=2 und y=20 41 Beträge.

Meine Frage ist, wie ich diese Änderung in der Formel für y>10 einsetzten kann.

LG

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(da 0.0 € auch mitgezählt wird).

Ist das ein Geldbetrag den Ella bezahlen kann?

Ich würde einen Geldbetrag von 0 nicht rechnen. Hab ich in meiner Annahme oben auch nicht gemacht.

Aber wenn du das immer mitzählen willst ist das natürlich möglich.

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Stimmt, habe die 0,0€ auch mitgezählt. Jedenfalls hätte ich die Idee, dass ich bei y>10  deine 2 Formeln zusammensetze.

Wäre das möglich?

LG

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Idee, dass ich bei y>10  deine 2 Formeln zusammensetze.

Ja das ist schon nicht verkehrt.

Nimm mal y = 45

Dann könnte ich daraus 3 Euro und 15 Centstücke machen. Dann könnte ich damit alleine

0,10 bis 0,90 (9 Geldbeträge)
1,00 bis 1.90 (10 Geldbeträge)
2,00 bis 2,90 (10 Geldbeträge)
3,00 bis 3,90 (10 Geldbeträge)

Allerdings auch

4.00 bis 4.50 (6 Geldbeträge)

Und das sind natürlich 45 verschiedene Geldbeträge.

Kommen jetzt noch 2 Euro hinzu kann ich denke ich jeden betrag bis 6,50 legen also insgesamt 65 Geldbeträge.

Answer 2

Sie kann jeden Betrag bezahlen, der für n∈{0,1,2,3,...,x} und für m∈{0,1,2,3,...,y} darstellbar ist als (x-n)+0,1(y-m).

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Führen Sie zur vollständigen Beantwortung dieser Frage eine Fallunterscheidung durch
und finden Sie für jeden Fall eine Formel, welche die gesuchte Anzahl in Abhängigkeit
von x und y angibt.

Die Frage ist das Problem. Vor allem die Fallunterscheidung in Abhängigkeit von x und y, verstehe ich nicht. Bringt ja nix, wenn ich nur abschreibe, ich möchte es ja auch verstehen.

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Die Frage ist das Problem. Vor allem die Fallunterscheidung in Abhängigkeit von x und y, verstehe ich nicht. Bringt ja nix, wenn ich nur abschreibe, ich möchte es ja auch verstehen.

Es ist sinnvoll, dass du es verstehen möchtest.

Dazu zählt aber auch, dass du es mal an ein paar festen Beispielen probierst.

Answer 3

Mein Versuch:

(x + (y div 10)) * (y mod 10)

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So, ich habe noch mal drüber nachgedacht:

(1 + x + (y div 10)) * (1 + (y mod 10))

Die Fallunterscheidung liegt hier in der getrennten Berechnung der Möglichkeiten vor bzw. nach dem Komma durch die einzelnen Faktoren.

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Oh, entschuldige, das habe ich überlesen. Ich habe es nicht so schön aufgeschrieben, komme aber zum gleichen Ergebnis. Falls nun aber einer der Meinung sein sollte, dass 0 Euro kein Geldbetrag ist, dann sollte das Ergebnis  um 1 reduziert werden.

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Wenn ich jetzt 0 Euro stucke und 15 10-Cent münzen habe

x = 0 ; y = 15

(1 + x + (y div 10)) * (1 + (y mod 10))
= (1 + 0 + (15 div 10)) * (1 + (15 mod 10))
= (1 + 1) * (1 + 5)
= (2) * (6)
= 12

Rechne ich da irgendwie verkehrt?

Legen kann ich bestimmt die Beträge von

0,10 € bis 1.50 € also 15 Geldbeträge. Eventuell auch 0 € wenn das enthalten sein soll.

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Meine Versuch ist auch im zweiten Ansatz noch fehlerhaft und ich muss noch weiter darüber nachdenken.

Answer 4

Vielleicht hilft eine Tabelle.

Nimm eine Tabellenkalkulation, lass das Feld oben links frei und trage rechts davon in die oberste Zeile die Zahlen 1, 2, 3, 4,... ein.

In die linke Spalte unterhalb des freien Feldes kommen die 10-Cent-Beträge, also 0.1, 0.2, 0.3, ...

In die anderen Gelder lässt du die jeweiligen Summen eintragen.

Dann siehst du hoffentlich, dass du (x+1)*(y+1)-1-d rechnen musst, wobei d die doppelt bzw. mehrfach vorkommenden Beträge sind.

:-)

Answer 5

Wenn ich x Eurostücke und

und y 10cent Münzen habe , dann muss ich eine Fallunterscheidung machen.

Wenn y>8, dann gibt es

10*x+ y + 1 Möglichkeiten

Wenn aber y<9, dann gibt es

(x+1)*(y+1) Möglichkeiten

Answer 6

Hallo,

ich würde es so beantworten:

Fall: \(y\leq 9\):

Dann sind alle Beträge \(s+0.1t\) möglich mit \(s \in \{0, \ldots,x\}, t \in \{0, \ldots y\}\). Die Darstellung ist in diesem Fall eindeutig und man erhält \((1+x)(1+y)\) Beträge, wobei die \(0\) mitgezählt wäre.

Fall \(y\geq 10\):

Dann sind alle Beträge \(s+0.1t\) möglich mit \(s \in \{0, \ldots,x\}, t \in \{0, \ldots 9\}\). Das wären \(10(1+x)\) Beträge. Hinzu kommen noch die Beträge unter Einsatz weiterer 10-cent-Münzen, also \(x+0.1t\) mit \(t \in \{10, \ldots,y\}\), also weitere \(y-9\) Beträge. Zusammen: \(10(1+x)+y-9\).

Gruß

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Hallo, ich habe dazu eine Frage.

wie kommt auf die Gleichung (x+1) (y+1).

Ich verstehe irgendwie nicht den Zusammenhang.

Also warum +1?

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Also warum +1?

Welchen Teil von "wobei die 0 mitgezählt wird" hast du nicht verstanden?

Wenn es z.B. um die Anzahlen "bis maximal 4" geht, sind das nicht nur 4 Zahlen, sondern -bitte mitzählen- die Anzahlen 0, 1, 2, 3, 4. Wenn du richtig mitgezählt hast, sind das 4+1=5 mögliche Anzahlen.

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Danke für die Erklärung,

Wenn ich also x Eurostücke und

habe und y 10cent Münzen, dann muss ich eine Fallunterscheidung machen.

Wenn  y>8, dann gibt es

10*x+ y + 1 Möglichkeiten

Wenn aber y<9, dann gibt es

(x+1)*(y+1) Möglichkeiten