Komplexe Zahlen und Wurzeln

Question

Aufgabe:

z² =w w=3+4j

Problem/Ansatz:

Länge des Zeiger zu z ist $\sqrt{5}$

φ= arctan $\frac{4}{3}$

Aber wieso ist der Realteil $\sqrt{5}$ · cos($\frac{1}{2}$ · arctan $\frac{4}{3}$)  wo kommt denn cos $\frac{1}{2}$ her?

Answer 1

Beim Multiplizieren zweier komplexer Zahlen werden die Argumente addiert. Beim Quadrieren einer komplexen Zahl wird das Argument demzufolge verdoppelt. Dann muss man umgekehrt beim Radizieren das Argument halbieren.

Comments

Okay aber warum denn Cosinus? Der Winkel muss halbiert werden verstehe ich

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Realteil: r*cos φ

Imaginärteil: r*sin φ

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@abakus:

Muss es nicht φ/2 sein?

Answer 2

$$z=x+iy=r(\cos\alpha+i\cdot\sin\alpha)$$

Der Realteil ist $x=r\cdot\cos\alpha$.

Comments

z=x+iy=cosα+i⋅sinα

Das gilt aber nur für komplexe Zahlen mit dem Betrag 1.

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Danke für den Hinweis.

Bin mal wieder unkonzentriert.

Zum Glück gibt es aufmerksame Leute hier.

:-)