Welche Fläche hat das Dreieck RBM?

Question

Flächen gleicher Farbe sind kongruent. ABCD ist ein Quadrat mit der Fläche 1. EFG und PFQ sind gleichseitige Dreiecke. N ist Mittelpunkt von AD; M ist Mittelpunkt von CB. Welche Fläche hat das Dreieck RBM?

Flächen gleicher Farbe sind kongruent. ABCD ist ein Quadrat mit der Fläche 1. EFG und PFQ sind gleichseitige Dreiecke. N ist Mittelpunkt von AD; M ist Mittelpunkt von CB. Welche Fläche hat das Dreieck RBM?

Comments

A ≈ 0.1430363304351436802540717323924436668606373690957459458937530391FE

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A ≈ 0.1430363304351436802540717323924436668606373690957459458937530391FE

stimmt - die exakte Lösung schreibt sich aber kürzer ;-)

Answer 1

$$A_{MRB}≈0,1430363 FE$$

Dieses wird im Folgenden begründet.

$$BC^2=1$$

$$|BC|= \sqrt{1} =1$$

$$|BM|=|BC|/2=1/2=0,5$$

$$BM^2=1/4$$

Hier folgt eine kleine Erinnerung .

Im gleichseitigen Dreieck sind, wie der Name schon sagt, alle Seiten gleich lang.

Es ist symmetrisch, die Winkel betragen alle 60 ° oder π/3, die Höhen ( h) halbieren die Grundlinie (a). Dadurch entstehen zwei Dreiecke mit den Winkeln 90° ; 60° und 30°

$$h^2=a^2-(1/2a)^2= 3/4a^2$$

$$h=a/2* \sqrt{3}$$

Die Fläche dieses gleichseitigen Dreiecks wird wie folgt berechnet.

$$A_{Δ}=a*h/2=a^2/4* \sqrt{3}$$

Nun geht es weiter

$$A_{EFG}=1= EF^2/4*\sqrt{3}$$

$$EF^2=4/\sqrt{3}$$

$$|MR|=|MG|+|MR|$$

$$|MR|+MG|+|MR|=|EF|$$

$$|MR|+|MR|=|EF|$$

$$2*|MR|=|EF|$$

$$|MR|=|EF|/2$$

$$MR^2=EF^2/4=1/\sqrt{3}$$

$$|BR|=\sqrt{MR^2-BM^2}$$

$$A_{MRB}=|BR|*|BM|/2$$

$$A_{MRB}=|BM|/2*|BR|$$

$$A_{MRB}=|BM|/2*\sqrt{MR^2-BM^2}$$

$$A_{MRB}=1/4*\sqrt{1/\sqrt{3}-1/4}$$

$$A_{MRB}≈0,1430363 FE$$

wzzw

Da Roland Erklärungsbedarf hatte, wurde diese Antwort bearbeitet.

Comments

Warum beginnst du deine Herleitung mit einem gerundeten Ergebnis? In deiner vorletzten Zeile steht das exakte Ergebnis. Gerundete Ergebnisse halte ich für überflüssig - erst recht am Anfang einer Herleitung.

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Dort oben steht ein gerundeter Wert, auf den ich mich im Folgenden nicht beziehe, den ich am Ende meiner Herleitung aber bestätige.

Die Herleitung beginnt erst eine Zeile später.

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Diese Art der Darstellung ist nicht üblich. Generell werde ich deine Darstellungen in Zukunft dann kritisieren, wenn sie - wie bereits geschehen - unverständlich sind.

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Kritik ist immer erwünscht,  ob das etwas an meinem Verhalten ändert, ist eine andere Frage . Doch , ich bin wie Du sicher bemerkt hast immer bereit, es dir weiter zu erläutern, wenn Du Verständnisprobleme hast. Also bitte nachfragen, ich erkläre dir meinen Weg immer wieder gerne.

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Willst du dich nicht schon bei deiner ersten Antwort um Verständlichkeit bemühen?

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Ich bemühe mich immer verständlich zu sein. Der von mir genannte gerundete Betrag, ist aus meiner Sicht, die Antwort auf deine Frage, die ich im Folgenden auch begründet habe. Es kann sein, dass Du Deine hohen Wertungen als einer der besten Mathematiker aber nur bekommen hast, weil Du so viele Fragen stellst.

Darum werde ich, damit auch Du es verstehst meine Antwort noch einmal überarbeiten. Ich verstehe dann aber nicht, warum Du für meine Antwort das Prädikat " Beste Antwort " vergeben hast, wenn Du den Beweis nicht verstanden hast.

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Hallo Roland, i

ich habe meine Antwort überarbeitet und hoffe, dass Du sie jetzt verstehst. Sie ist dadurch aber sehr viel länger geworden, als sie ursprünglich war. Es ist immer nicht so leicht einzuschätzen, wie viel man annehmen kann, das der Fragesteller versteht und was nicht. Falls doch noch etwas für Dich unklar ist, traue Dich ruhig Fragen zu stellen, ich werde mich dann wieder bemühen, es Dir zu erläutern.

Liebe Grüße, Hogar

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Ich habe an keiner Stelle zum Ausdruck gebracht, dass ich deinen ursprünglichen Beitrag nicht verstanden hätte. Aber die meisten deiner Beiträge verstehe ich im Gegensatz zu Antworten von anderen Teilnehmern nicht.

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Wie gesagt, wenn Du etwas nicht verstehst, frage nach. Ich erkläre es Dir gerne.

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Wie kommst du auf $|MR|=|MG|+|MR|$?

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Wie kommst du auf $|MR|=|MG|+|MR|$?

soll wahrscheinlich $|MR|=|MG|+|ER|$ heißen. Und Hogar hat den Tippfehler dann in die nächste Zeile übernommen:$$|\cancel{{\color{red}M}}ER|+|MG|+|MR|=|EF|$$

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ich hatte das damals auch heraus gekommen. Kann mich aber gar nicht daran erinnern. Dagegen fällt mir die geometrische Konstruktion irgendwie leichter ... ;-)

 

Neben dem Qudrat $ABCD$ zeichnet man ein gleichseitiges Dreieck $\triangle E''F'G''$ beliebiger Größe. Fügt man die halbe Höhe $H_c'L$ als $F'L'$ (gelb) an die Grundseite an, so liefert der Thaleskreis über $E''L'$ die Strecke $|F'F_1'|$, die der Länge eines Quadrats entspricht, das die gleiche Fläche wie das Dreieck $\triangle E''F'G''$ hat.

Nun trägt man die Länge $|AB|=1$ auf der Geraden durch $F'F_1'$ zum Punkt $F_1$ ab (schwarz) und konstruiert durch $F_1$ die Parallele zu $E''F_1'$. Die Parallele schneidet die Gerade durch $E''F'$ in $E'$.

$|E'F'|=|EF|$ (grün) ist die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks $\triangle EFG$. Mit der halben Seitenlänge konstruiert man nun ausgehend von $N$ das gleichseitiges Dreieck $\triangle NVU$ im Quadrat $ABCD$.

$M$ ist die Mitte der Seite $BC$. Die Gerade durch $MV$ schneidet die Seite $AB$ in $R$. Da $|BM|=1/2$ ist der vierte Teil von $|RB|$ ein Mass für die Fläche des Dreiecks $\triangle RBM$: $$\to|XB| = F_{\triangle RBM} \approx 0,14304$$Gruß Werner