Aufgabe:
Zeigen Sie formal, dass aus der Konvergenz an→aan→a a_n\rightarrow a \\ \sqrt{a_n}\rightarrow a an→aan→a
und für an,a≠01sqrt(an)→1a a_n,a\neq 0 \\ \frac{1}{sqrt(a_n)}\rightarrow \frac{1}{a} an,a=0sqrt(an)1→a1
folgt. Wählen Sie dazu zu gegebenem ϵ>0\epsilon >0ϵ>0 ein passendes n0n_0n0 und prüfen Sie die Definition nach.
Ansatz:
Bräuchte einen Ansatz.☺ ...
Bei der Sache mit der Wurzel ist aber sicher vorausgesetzt, dass
das a und kein Folgenglied negativ sind und der Grenzwert
der "Wurzelfolge" nicht a sondern √a ist.
Meinst du 1an→1a\frac{1}{\sqrt{a_n}}\to \frac{1}{\sqrt{a}}an1→a1, denn limn→∞1(1+1n)n=1e\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}}=\frac{1}{\sqrt{e}}n→∞lim(1+n1)n1=e1
Ich dachte als erstes sollte gezeigt werden
an→a==>an→a a_n\rightarrow a ==> \sqrt{a_n}\rightarrow \sqrt{a} an→a==>an→a
Ne dort steht man soll zeigen an→a⇒(an)→a a_n\rightarrow a \Rightarrow \sqrt(a_n) \rightarrow a an→a⇒(an)→a und dann, dass daraus auch 1(an)→1a \frac{1}{\sqrt(a_n)} \rightarrow \frac{1}{a} (an)1→a1 folgt. So habe ich das auf jeden Fall verstanden. Aber da steht auch a und nicht wurzel(a) was mich auch verwirrte.
Hier ist der allgemeine Fall gezeigt:
https://www.mathelounge.de/767410/wurzel-und-konvergenz
Den Satz limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim an=a ⇒ limn→∞ \lim\limits_{n\to\infty} n→∞lim an \sqrt{a_n} an=a kann man nicht zeigen, sondern leicht widerlegen.
Ok. Danke für die Hinweise!
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