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c bezeichne die Lichtgeschwindigkeit. Man untersuche, ob die Menge

aller reellen Zahlen v mit -c < v < c und der binären Operation
v1 ⊕ v2 :=\( \frac{v_1 + v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}} \) zu eine Gruppe wird.

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Prüfe folgendes:

  1. \(-c < v_1\oplus v_2 < c\quad \forall v_1,v_2\in (-c, c)\)
  2. \(\left(v_1\oplus v_2\right)\oplus v_3 =  v_1\oplus \left(v_2 \oplus v_3\right)\quad \forall v_1,v_2,v_3\in (-c, c)\)
  3. \(v \oplus 0 = v\quad \forall v\in (-c, c)\)
  4. \(v \oplus (-v) = 0\quad \forall v\in (-c, c)\)
von 94 k 🚀

Vielen lieben Dank für deine Rückmeldung, die hat mir sehr weitergeholfen und ich hab es jetzt mal probiert vernünftig aufzuschreiben.

Punkt 1 , hab ich keine Ahnung, ich habe dazu aber etwas im Internet gefunden, aber ich weiss selber nicht ob es stimmt, falls du mir das evtl knapp noch einmal erläutern könntest würde ich mich sehr freuen. :)

Behauptung:

(ℝ,⊕) ist eine Gruppe für das offene Intervall (-c,c) mit v1 ⊕ v2 :=\( \frac{v_1 + v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}} \)

Beweis:

1.

Es gilt zu verifizieren, dass ℝ = (-c,c) abgeschlossen ist unter der gegebenen Verknüpfung ⊕ (also, dass diese wohl-definiert ist): Für alle v1,v2 ∈ ℝ gilt 1+\( \frac{v_1v_2}{c^2} \) ≠ 0 und

v1 ⊕ v2 :=\( \frac{v_1 + v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}} \) = \( \frac{(c+v_1)(c+ v_2)}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}} \) -c > -c

sowie

v1 ⊕ v2 :=\( \frac{v_1 + v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}} \) = c - \( \frac{(c-v_1)(c- v_2)}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}} \) < c

Also haben wir gezeigt, dass v1 ⊕ v2 ∈ (-c,c) ist.

Nun prüfen wir die Gruppenaxiome:

3.

Die Verknüpfung ⊕ besitzt das neutrale Element 0 ∈ ℝ, denn

0 ⊕ v = v ⊕ 0 = \( \frac{v}{1} \) = v

für alle v ∈ ℝ.

4.

Für v ∈ ℝ gilt zudem

v ⊕ (-v) = \( \frac{v-v}{1+\frac{v(-v)}{c^2}} \) = 0 = \( \frac{-v+v}{1+\frac{(-v)v}{c^2}} \) = (-v) ⊕ v

weshalb -v ∈ ℝ das Inverse von v bzgl. ⊕ ist.

2.

Die Verknüpfung ⊕ ist assoziativ: Eine Rechnung zeigt, das für alle v1,v2,v3 ∈ ℝ gilt:

v1 ⊕ (v2 ⊕ v3) = v1 ⊕ \( \frac{v_2+v_3}{1+\frac{v_2v_3}{c^2}} \) = \( \frac{v_1+(v_2+v_3)(1+v_2v_3/c^2)^-1}{1+\frac{v_1}{c^2}(v_2+v_3)(1+v_2v_3/c^2)^-1} \) = \( \frac{v_1+v_2+v_3+\frac{v_1v_2v_3}{c^2}}{1+\frac{v_2v_3+v_1v_2+v_1v_3}{c^2}} \) = \( \frac{(v_1+v_2)(1+v_1v_2/c^2)^-1 + v_3}{1+\frac{v_3}{c^2}(v_1+v_2)(1+v_1v_2/c^2)^-1} \) = \( \frac{v_1+v_2}{1+\frac{v_1v_2}{c^2}} ⊕ v_3 \) = (v1 ⊕ v2) ⊕ v3

Ich hoffe ich habe keine Fehler gemacht und freue mich über deine Rückmeldung. <3

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