Zeigen Sie, dass die Folge bn ebenfalls gegen a konvergiert.

Question

Hallo,

Ich habe eine Frage zu einer Aufgabe, welche ich lösen muss. Ich habe keinerlei Ansätze wie ich dies lösen soll, weshalb ich nun hier bin :(.

Sei (an)n∈N eine konvergente Folge mit lim(n→∞) an = a.
Zeigen Sie, dass die Folge (bn)n∈N mit

bn =(a1 + a2 + · · · + an)/n

ebenfalls gegen a konvergiert.

Ich hoffe es hat jemand eine Ahnung bzw. einen Ansatz, welcher mir helfen könnte.

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Was wissen wir?

\(\forall \varepsilon \, \exists N\in \mathbb{N}\, \forall n\geq N : \, |a_n-a|<\varepsilon\)

Was ist zu zeigen?

\(\forall \varepsilon \, \exists N\in \mathbb{N}\, \forall n\geq N : \, |b_n-a|<\varepsilon\)

Also gucken wir mal....$$|b_n-a|=\left|\frac{a_1+a_2+\cdots + a_n}{n}-a\right|=\left|\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n-na}{n}\right|$$ Jetzt kommt ein Kunstgriff! Wir ziehen von \(a_1+a_2+\cdots +a_n\) genau \(n\)-mal \(a\) ab. Das kann man aber auch einfach so schreiben:$$|b_n-a|=\left|\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+\cdots + (a_n-a)}{n}\right|$$ Idee, wie es nun weitergeht?

Comments

danke schonmal für die antwort :)

ich nehme an, dass es noch zu früh ist um die Ungleichung nach n zu lösen, oder?

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Dass es ein \(N_1\) gibt, so dass \(|a_n-a|<\varepsilon_1\) ist vorausgesetzt. Diesen Ausdruck solltest du auch in der vorletzten Zeile sehen.

Was ist denn \(a_1,...a_{n-1},a\)? Eigentlich nur reelle Zahlen, oder?

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in der aufgabenstellung wurde dazu nichts genaueres gesagt, also ja.

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Verwende die Dreiecksungleichung.