Zeigen Sie, dass die Teilmengenrelation

Question

Aufgabe: Sei A eine Menge und P die Menge aller Teilmengen von A. Wir nennen eine Relation R ⊆ P x P  antisymmetrisch, falls aRb ∧ bRa ⇒ a = b  für alle a,b ∈ P.

Zeigen Sie, dass die Teilmengenrelation

R := {(B,C) ∈ P x P : B ⊆ C}

eine partielle Ordnung ist.

Problem/Ansatz: Ich muss damit beginnen, dass ich beweise, dass R reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist, jedoch komm ich hier nicht weiter, da ich das noch nie gemacht habe und mir das auch nie jemand richtig erklärt hat. Hab einige Beispielaufgaben auf der Plattform hier gesehen, jedoch konnte ich die nicht auf meine Aufgabe anwenden, da ich dies nicht nachvollziehen konnte.

Answer 1

Hallo Izabela,

B ⊆ C bedeutet, dass jedes Element der Menge B auch in der Menge C enthalten ist.

Insbesondere gilt also auch B ⊆ B. [#]

R ist reflexiv:

zu zeigen: Für alle X ∈ P gilt (X,X) ∈ R

           Genau das steht bei [#]

R ist transitiv:

zu zeigen: Für alle X, Y, Z ∈ P gilt: (X,Y) ∈ R und (Y,Z) ∈ R ⇒  (X,Z) ∈ R

          Das ist wahr, denn              X ⊆ Y     und    Y ⊆ Z   ⇒     X ⊆ Z

R ist antisymetrisch:

zu zeigen: Für alle X,Y  ∈ P gilt: (X,Y) ∈ R  und (Y,X) ∈ R ⇒  X = Y

            Das ist wahr, denn         X ⊆ Y      und     Y ⊆ X   ⇒  X = Y

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen vielen dank, das ist sehr gut nachzuvollziehen !!

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Gern geschehen