Relationen untersuchen auf Linkstotalität und Rechtseindeutigkeit

Question

Aufgabe:

Zeichnen Sie die folgenden Relationen und untersuchen Sie sie jeweils auf Linkstotalität und Rechtseindeutigkeit:

a) $F_{1}:=\mathbb{R}_{\geq 0} \times\{3\} \subseteq \mathbb{R}^{2}$

b) $F_{2}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid(x-1)(y-1)=0\right\} \subseteq \mathbb{R}^{2}$

c) $F_{3}:=\left\{\left(y^{2}, y\right) \mid y \in \mathbb{R}\right\} \cup\left\{\left(-y^{2}, y\right) \mid y \in \mathbb{R}\right\} \subseteq \mathbb{R}^{2}$

d) $F_{4}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}=y^{3}+1\right\} \subseteq \mathbb{R}^{2}$

Welche dieser Relationen sind Funktionen?

Hinweis: Die Begriffe linkstotal und rechtseindeutig sind wie folgt definiert (vgl. 3.6 im Skript):

Seien $A, B$ nichtleere Mengen und sei $F \subseteq A \times B$ eine Relation.

- F heißt linkstotal, wenn gilt: $\forall a \in A \exists b \in B:(a, b) \in F$

- F heißt rechtseindeutig, wenn gilt: $$\forall a \in A \forall b_{1}, b_{2} \in B:\left(\left(a, b_{1}\right) \in F \wedge\left(a, b_{2}\right) \in F\right) \Rightarrow b_{1}=b_{2}$$

Answer 1

Die Frage nach den Funktionen ist mit der ersten

Antwort schon geklärt. siehe etwa

https://de.wikipedia.org/wiki/Relation_(Mathematik)#Relationen_und_F…

a) ist eine Funktion f :ℝ_≥0 → {3}   die konstante Funktion mit Wert 3.

b) ist Linkstotal (zu jedem x findest du ein y, das die Bedingung erfüllt, z.B. y=1)

aber nicht rechtseindeutig, denn zu x=1 gibt es viele verschiedene y's.

c) zu jedem x ∈ℝ gibt es ein y (nämlich √|x| ) für welches y²=x oder -y²=x
  gilt, also linkstotal.

  rechtseindeutig, da wenn (y²;y) und (-y²;y)  gleich sind, jedenfalls

                          y = 0 folgt, also sind die 2. Komponenten auch gleich.

          Es handelt sich hier um die ganz normale Quadratfunktion f(x)=x² .

d) zu jedem x findet man ein y , nämlich

            y=3.Wurzel(x²-1)  für x² ≥ 1
bzw.        y = - 3.Wurzel(1-x²)  für x²<1 .

     Allerdings gehört z.B. zu x=2 und zu x=-2 das gleiche y,

also nicht rechtseindeutig.

Comments

Ich danke vielmals!

Bei der a), da es eine konstante Fkt. Mit dem Wert 3 ist, also parallel zur x-Achse, ist sie nicht linkstotal, weil es nicht zu jedem x ein y gibt? Aber sie ist Rechtseindeutig? Stimmt das?

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, ist sie nicht linkstotal, weil es nicht zu jedem x ein y gibt?

linkstotal heißt doch: Zu jedem x gibt es ein y ! also

ist sie es.