Nullstellenfindung Polynom 5ten Grades

Question

Aufgabe:

Nullstelle Polynom 5ten Grades

Problem/Ansatz:

Ich soll die Nullstelle des Polynoms f(x)= 10x⁵+3x⁴+4x³+4x²-6x+1 bestimmen. f ist dabei in Z[x], die Nullstelle soll ich über Q finden.

Wir hatten gerade irreduzibilität etc. und ich weiß dass eine Nullstelle a=r/s die Eigenschaft haben soll, dass s|10 und r|1

aber leider komme ich dabei nicht weiter... Könnte mir wer einen Tipp geben?

Answer 1

Wir hatten gerade irreduzibilität etc. und ich weiß dass eine Nullstelle a=r/s die Eigenschaft haben soll, dass s|10 und r|1

Das ist alles was du brauchst:

$$r | 1 \implies r \in \{ \pm 1 \}$$

$$s | 10 \implies r \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10 \}$$

Also sind die einzigen Kandidaten für rationale Nullstellen

$$a \in \left\{ \pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac 1 5, \pm \frac{1}{10} \right\}$$

Einsetzen und ausrechnen (lassen).

Siehe auch:

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen

Comments

Ah, danke! Aber würde nicht zb. 1/2 auch 1 teilen? Oder 2? Der Körper ist ja Q

(sorry, das Thema ist noch etwas neu...)

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nein, man betrachtet nur ganzzahlige Teiler. In der Darstellung a=r/s handelt es sich bei r und s um ganze Zahlen.

Answer 2

Die Nullstelle -1 zu erraten (wenn schon +1 nicht geht), sollte wohl naheliegend sein.

Comments

Aber ich will eigtl gerade nicht raten...

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Das musst du aber hier. Die Nullstelle muss ein Teiler der Konstanten sein.

Es kommen nur 1 und -1 infrage.

Du solltest das in der Schule gelernt haben. :)

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Das musst du aber hier. Die Nullstelle muss ein Teiler der Konstanten sein.

Einschränkung: falls sie ganzzahlig ist.

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Ja, ich muss nur immer alles beweisen was ich angebe...

Ich war mir nur nicht sicher, ob es nicht auch eine Nullstelle wie 1/7 oder so geben kann...

Kannst du mir vielleicht sagen, wie ich es bei x³ + 2x + 1 machen würde?

da ist der ggT(1,2,1)= 1. Finde ich da in Q eine Nullstelle? Bzw. mit welchem Verfahren?