Unterraum, Basis, Matrizen!

Question

Wir definieren die Abbildung
$\begin{aligned}& \mathrm{Tr}: V \rightarrow \mathbb{R} \\M=\left(\begin{array}{ll}m_{11} & m_{12} \\m_{21} & m_{22}\end{array}\right) & \mapsto \operatorname{Tr}[M]:=m_{11}+m_{22}\end{aligned}$
die Spur (oder Trace) von $M$.
Sei $U:=\{M \in V \mid \operatorname{Tr}[M]=0\}$
1) Wie zeige ich: $U$ ist ein Unterraum und gebe eine Basis $\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots,\mathbf{v}_{k}\right\}$ dafür an.
2) Wie erweitere ich diese Basis zu einer Basis von $V .$ Also finden Sie $\mathbf{w}_{1}, \ldots,\mathbf{w}_{\ell}$ so dass $\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{k}, \mathbf{w}_{1},\ldots, \mathbf{w}_{\ell}\right\}$ eine Basis für $V$ bildet.

Answer 1

Unterraum zeigst du einfach mit dem Unterraumkriterium.

V ist wohl der Raum der 2 x 2 Matrizen mit reellen Zahlen

als Einträge.  Damit das mit den Indices nicht so viel zu tippen ist

schreibe ich mal so $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

Für Tr[M]=0 brauchst du also die mit a+c=0   bzw. c = -a

also solche $\begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}$.

Die kannst du schreiben in der Form

$a*\begin{pmatrix} 1& 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} +b*\begin{pmatrix} 0& 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} +c*\begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$

und diese 3 bilden eine Basis. Für den ganzen Raum nimmst du

noch $\begin{pmatrix} 0& 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ dazu.

Comments

Und bei 2. wie werde ich die erweitere Basis bestimmen?

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nimmst du

noch $\begin{pmatrix} 0& 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$ dazu.

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ja, aber warum nehme ich das dazu? Könntest du bitte mehr erklären?