Maximierung des Umsatzes

Question

Aufgabe:

Hilfe in Quadratische Funktionen

Ein Weinhändler verkauft im Monat 1000 Flaschen Wein zu einem Preis von je 6 Euro. Testverkäufe haben ergeben, dass eine Preissenkung von 0,10 Euro pro Flasche zu einer Absatzsteigerung von 20 Flaschen führen würde. Bei welchem Verkaufspreis pro Flasche wäre der Umsatz des Weinhändlers maximal?

Answer 1

p(x) = - 0.1/20·(x - 1000) + 6
p(x) = 11 - 0.005·x

E(x) = p(x)·x = 11·x - 0.005·x^2

E'(x) = 11 - 0.01·x = 0 --> x = 1100 Stück

Hier kannst du auch anders den Scheitelpunkt bestimmen, falls Ableitungen noch nicht bekannt sind.

p(1100) = 5.50 €

Der Händler würde seinen Umsatz bei einem Stückpreis von 5.50 € maximieren.

Answer 2

dass eine Preissenkung von 0,10 Euro pro Flasche zu einer Absatzsteigerung von 20 Flaschen führen würde.

Die Zuordnung

        Abgesetzte Menge → Erzielbarer Preis pro Flasche

ist deshalb linear, also

(1)        p(x) = mx + b

mit

        x: Abgesetzte Menge,

        p(x): Erzielbarer Preis pro Flasche.

Es muss m und b bestimmt werden. Dazu: mittels Steigungsdreieck bekommst du

        m = -0,1 / 20 = -0,005.

In (1) einsetzen ergibt

(2)        p(x) = -0,005x + b

verkauft im Monat 1000 Flaschen Wein zu einem Preis von je 6 Euro

In (2) einsetzen ergibt

        6 = -0,005·1000 + b.

Löse diese Glechung nach b auf und setze das Ergebnis in (2) ein um die Funktion p(x) zu bestimmen.

Bei welchem Verkaufspreis pro Flasche wäre der Umsatz des Weinhändlers maximal?

Der Umsatz durch den Verkauf von x Flaschen zum Preis von je p(x) beträgt

        U(x) = x·p(x).

Bestimme den Scheitelpunkt dieser Funktion.