Konvergiert folgende Reihe?

Question

Aufgabe:

Reihe Grenzwert berechnen

Problem/Ansatz:

Meine Reihe ist folgende:

a_n= x/ (2^x)

Ich weiß dass die Reihe gegen 2 konvergieren würde wenn oben statt x eine 1 stehen würde.

Aber konvergiert meine Reihe so auch?

Answer 1

Aloha :)

Die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe lautet:$$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\quad;\quad |x|<1$$Solange wir uns im Konvergenzradius der Reihe bewegen, also $|x|<1$ gilt, können wir die die Reihe differenzieren, indem wir die einzelnen Summanden differenzieren:

$$\frac{d}{dx}\left(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\right)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)\implies\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^2}\implies\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{n}=\frac{x}{(1-x)^2}$$Für $x=\frac{1}{2}$ folgt der gesuchte Grenzwert:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\frac{1}{2}}{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}=2$$

Answer 2

Diese Reihe konvergiert nur für x=0, sonst divergiert sie, die Folgenglieder sind konstant.

$$a_n= x/ (2^x)=c$$

$$S_n=n*c$$

Falls es aber anders gemeint war,

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Sum+%28+n%2F%282%5En%29%29

Comments

Ob dieser Beitrag wohl in die engere Wahl der Kandidaten für die "Beste Antwort" kommt ?
Wahrscheinlich nicht, also hättest du auch in einem freundlichen Kommentar auf den Tippfehler hinweisen können.

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Wenn, dann doch bitte die Tippfehler. Da da aber zweimal ein x steht, gehe ich davon aus, dass es kein Tippfehler war.

Wenn es aber doch zwei Tippfehler waren, dann konvergiert S gegen 2 .

Siehe geänderte Antwort.

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Hauptsache, die Frage ist beantwortet und du hast dir ein paar Punkte gemacht.

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Wenn, dann hat Wolfram Alpha die Punkte verdient.

Wenn du eine bessere Idee hast, dann lasse uns sie doch wissen.