Metrische räume, Zwischenwertsatz

Question

Hallo, ich muss zeigen, dass ein metrischer Raum \( M \) genau dann zusammenhängend ist, wenn jede stetige Funktion \( f: M \rightarrow \mathbb{R} \) die Zwischenwerteigenschaft hat, d.h.,
\( \forall x, y \in M \operatorname{mit} f(x)<f(y) \text { gilt }[f(x), f(y)] \subseteq f(M) \)

Ich glaube, es ist effektiver, zu zeigen, dass \( M \) nicht zusammenhängend ist äquivalent dazu, dass der Zwischenwertsatz auf \( M \) nicht gilt.
Weiß jemand wie man das weiter fortführen!

Answer 1

Hallo,

Wenn M nicht zusammenhängend ist, dann gibt es offene disjunkte nichtleere Mengen \(A,B \sub M\) mit \(M=A \cup B\). Definiere eine Funktion \(f:M \to \mathbb{R} \) durch

Diese f nimmt keine Zwischenwerte an.

Wenn die ZwischenwertEigenschaft für ein f, wie angegeben, nicht erfüllt ist, dann existiert \(z \in \mathbb{R}\) ohne Urbild in M. Dann bewirkt

$$A:= \{ s \in M \mid f(s)<z \}  B:= \{ s \in M \mid f(s)>z \}$$

eine Zerlegung von M in zwei nichtleere offene Mengen.

Gruß

Comments

Ah super, danke dir Peter!